Analysis - Integralrechnung, Matheübungen

- Basisaufgaben zur Wiederholung G9 - 69 Aufgaben in 13 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Integriert man f(t) von a bis x (d.h. die obere Grenze ist variabel), so erhält man eine Integralfunktion Ia die jedem Wert x (= obere Grenze) das entsprechende Integral (Flächenbilanz) zuordnet. Ia besitzt im Allgemeinen folgende Eigenschaften:
    • mindestens eine Nullstelle x = a (weil das Integral von a bis a immer 0 ist)
    • sie ist Stammfunktion von f (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 7
  • Kreuze richtig an (eine Antwort pro Zeile).
    • graphik
    I(x)
    =
    x
    2
    f(t)
     
    dt
    ;
    I bzw.
     
    G
    I
     
    besitzt folgende Eigenschaften:
    Im Intervall [2; 10]
         
     
    streng monoton steigend
     
         
     
    ...fallend
     
         
     
    weder noch
    Bei x = 5
         
     
    relatives Maximum
     
         
     
    Nullstelle
     
         
     
    relativ stärkste Zunahme
Beispiel
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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist eine Stammfunktion F von f und welche Beziehung besteht zwischen den Werten von f und F?
#401

Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

F bzw. GF f (x)
streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel 1
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
3
x
7
 an.
Beispiel 2
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
2
3
 
x
7
 an.
Wie wird das bestimmte Integral geometrisch interpretiert?
#566
Das bestimmte Integral mit der Integrandenfunktion f und den Integrationsgrenzen a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen Gf und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.
Was ist eine Integralfunktion und welche Eigenschaften hat sie?
#567
Integriert man f(t) von a bis x (d.h. die obere Grenze ist variabel), so erhält man eine Integralfunktion Ia die jedem Wert x (= obere Grenze) das entsprechende Integral (Flächenbilanz) zuordnet. Ia besitzt im Allgemeinen folgende Eigenschaften:
  • mindestens eine Nullstelle x = a (weil das Integral von a bis a immer 0 ist)
  • sie ist Stammfunktion von f (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Beispiel
graphik

\(I(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt\)

Welche Aussage ist richtig, welche falsch?

  • \(I\) ist im Intervall \( [3;+\infty[ \) streng monoton zunehmend.
  • \(I\) ist im Intervall \( [0;2]\) streng monoton abnehmend.
  • \(I\) ist im Intervall \( [0;2]\) nicht negativ.
  • \(I\) hat die stärkste Zunahme bei \(x=2\).
  • \(I\) besitzt ein relatives Maximum bei \(x=1\).
Wie bestimmt man die Fläche zwischen zwei Graphen in einem Intervall, wenn deren Verlauf unbekannt ist?
#569
Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen Gf und Gg im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:
  1. Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
  2. Ermittle eine Stammfunktion D von d.
  3. Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
  4. Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
  5. Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.
Beispiel
Bestimme den Inhalt der Fläche, welche von den beiden Parabeln p und q mit 
p
 
x
=
x
2
+
1
 und 
q
 
x
=
−
x
2
+
9
 eingeschlossen wird.
Was versteht man unter einem uneigentlichen Integral?
#1295
Sofern der Grenzwert rechts exisitiert, definiert man: \[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx := \lim_{z \to \infty} \int_{a}^{z} f(x) \, dx \] und spricht von einem uneigentlichen Integral.

Analog definiert man, falls \(f(b)\) nicht definiert ist, aber der Grenzwert rechts existiert:

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx := \lim_{z \to b} \int_{a}^{z} f(x) \, dx \]
Beispiel
Schreibe als Grenzwert.
(a)   
∞
0
e
−
x
 
dx
(b)   
2
1
ln
x
−
1
 
dx
Wie entsteht ein Rotationskörper aus dem Graphen einer Funktion und wie berechnet man dessen Volumen?
#1378
Für eine stetige Funktion f, die in einem Intervall [a;b] definiert ist, kann man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse um die x-Achse rotieren lassen. Dadurch entsteht ein Rotationskörper, dessen Volumen V dem Integral über (f(x))² mit Untergrenze a und Obergrenze b, multipliziert mit π, entspricht.
Beispiel
graphik
Die Abbildung zeigt ein ungefähres Modell des Luftschiffs Hindenburg, das am 6.5.1937 bei einem tragischen Unfall in Flammen aufging. Der dargestellte Körper kann aus dem Graphen der in 
−
120;
 
120
 definierten Funktion f mit 
f
 
x
=
0,00025x
3
−
0,03x
2
−
3,6x
+
432
 gewonnen werden: Lässt man die Fläche unter 
G
f
 um die x-Achse rotieren, so ergibt sich als Rotationskörper das Modell des Luftschiffs.
Ermittle, welches Volumen der Korpus der Hindenburg hatte, wenn eine Längeneinheit im Modell einem Meter in Wirklichkeit entspricht.