Trigonometrie - Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion - Mathematikaufgaben

Betrachtungen am Einheitskreis, einfache Sinus- und Kosinusfunktion, einfache trigonometrische Gleichungen

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    Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:

    cos(α) = x und sin(α) = y

    Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.

Entscheide anhand des Einheitskreises, welcher Wert plausibel ist.

  • graphik
    cos
     
    200° ≈   
    −
    0,3
     
       
    0,1
     
       
    −
    0,9
     
       
    0,7
    sin
     
    200° ≈   
    −
    0,3
     
       
    0,5
     
       
    −
    0,7
     
       
    0,9
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Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion
Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:

cos(α) = x und sin(α) = y

Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Beispiel 1
Ermittle anhand des Einheitskreises:
sin
 
450°
=
?
cos
 
360°
=
?
Beispiel 2
Mit welchen der folgenden vier Werte stimmt   cos (31°)   überein? Entscheide anhand des Einheitskreises.
−
cos
−
31°
cos
 
149°
−
cos
 
211°
cos
 
121°

Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.

Winkel Spiegelung von P Vozeichenänderung Formeln
−α bzw.
360° − α		 an der x-Achse nur sin sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α an der y-Achse nur cos sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180° am Ursprung sin und cos sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360° P verändert sich nicht sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
Beispiel 1
Gib alle Lösungen im Intervall [0° ; 360°] an.
sin
x
=
0,7
Beispiel 2
Führe   sin( 139° )   auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.