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Trigonometrie - Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion - Mathematikaufgaben
Betrachtungen am Einheitskreis, einfache Sinus- und Kosinusfunktion, einfache trigonometrische Gleichungen
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Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:
cos(α) = x und sin(α) = y
Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Entscheide anhand des Einheitskreises, welcher Wert plausibel ist.
cos
200° ≈
−
0,3
0,1
−
0,9
0,7
sin
200° ≈
−
0,3
0,5
−
0,7
0,9
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Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion
Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:
cos(α) = x und sin(α) = y
Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Beispiel 1
Ermittle anhand des Einheitskreises:
sin
450°
=
?
cos
360°
=
?
Beispiel 2
Mit welchen der folgenden vier Werte stimmt cos (31°) überein? Entscheide anhand des Einheitskreises.
−
cos
−
31°
cos
149°
−
cos
211°
cos
121°
Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.
Winkel
Spiegelung von P
Vozeichenänderung
Formeln
−α bzw.
360° − α
an der x-Achse
nur sin
sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α
an der y-Achse
nur cos
sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180°
am Ursprung
sin und cos
sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360°
P verändert sich nicht
sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
Beispiel 1
Gib alle Lösungen im Intervall [0° ; 360°] an.
sin
x
=
0,7
Beispiel 2
Führe sin( 139° ) auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.
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