Trigonometrie - Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion, Matheübungen

Betrachtungen am Einheitskreis, einfache Sinus- und Kosinusfunktion, einfache trigonometrische Gleichungen

Hilfe
  • Ermittle die Schnittstellen mit der entsprechenden horizontalen Geraden.
  • Folgende Sinus- und Kosinuswerte sollte man (wie Vokabeln) auswendig lernen:
    • sin(0°)=0
    • sin(30°)=0,5
    • sin(45°)=0,5√2
    • sin(60°)=0,5√3
    • sin(90°)=1

    Die Kosinuswerte sind dazu spiegelbildlich: cos(0°)=1, ..., cos(90°)=0

    Merkhilfe: die Werte von oben nach unten ergeben sich, indem man 0,5 mit √0, √1 usw. multipliziert.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Gib alle Lösungen im Intervall [-π ; 2π] aufsteigend (d.h. die kleinere Zahl zuerst) sortiert an. Die Lösungen sollen als Bruchteil von π angegeben werden (zum Beispiel -2/3 π).

  • cos x
    =
    1
    2
     
    2
    x
    1
    =
    π
       
    x
    2
    =
    π
       
    x
    3
    =
    π
    (Werte aufsteigend angeben!)
    graphik
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion
Lernvideo

Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion

Kanal: Mathegym
Wie sind Sinus und Kosinus am Einheitskreis definiert?
#333
Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:

cos(α) = x und sin(α) = y

Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Beispiel 1
Ermittle anhand des Einheitskreises:
sin
 
450°
=
?
cos
 
360°
=
?
Beispiel 2
Mit welchen der folgenden vier Werte stimmt 
cos
31°
 überein? Entscheide anhand des Einheitskreises.
−
cos
−
31°
   
cos
149°
   
−
cos
211°
   
cos
121°
Wie beeinflusst die Spiegelung eines Punktes P auf dem Einheitskreis an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung die Sinus- und Kosinuswerte?
#334

Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.

Winkel Spiegelung von P Vorzeichenänderung Formeln
−α bzw.
360° − α		 an der x-Achse nur sin sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α an der y-Achse nur cos sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180° am Ursprung sin und cos sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360° P verändert sich nicht sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
Beispiel 1
Führe cos(2314°) auf einen Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
Beispiel 2
Führe sin(139°) auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.
Beispiel 3
Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.
sin
x
=
0,7
Welche sind die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel 0°, 30°, 45°, 60° und 90°?
#1101
Folgende Sinus- und Kosinuswerte sollte man (wie Vokabeln) auswendig lernen:
  • sin(0°)=0
  • sin(30°)=0,5
  • sin(45°)=0,5√2
  • sin(60°)=0,5√3
  • sin(90°)=1

Die Kosinuswerte sind dazu spiegelbildlich: cos(0°)=1, ..., cos(90°)=0

Merkhilfe: die Werte von oben nach unten ergeben sich, indem man 0,5 mit √0, √1 usw. multipliziert.

Beispiel
sin x
=
−
1
2
 
2
Bestimme alle Lösungen im Intervall 
−
π
 
≤
 
x
 
≤
 
π.

Mathe-Aufgaben passend zu deinem Lehrplan

Aufgaben für deinen Lehrplan
Wir zeigen dir exakt die Mathe-Übungen, die für deinen Lehrplan bzw. Bundesland vorgesehen sind. Wähle dazu bitte deinen Lehrplan.
Lehrplan wählen