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  • Stochastische Matrizen

    Stochastische Prozesse lassen sich sehr übersichtlich in Matrix-Schreibweise darstellen. Dazu werden die Zustandsverteilungen zu Vektoren zusammengefasst. Die Übergangswahrscheinlichkeiten finden sich in den Koeffizienten der Berechnungsvorschriften wieder und können übersichtlich in der Übergangsmatrix U dargestellt werden.

    Die Zustandsverteilung nach Schritt k+1 kann mittels einer Matrix-Multiplikation aus der Übergangsmatrix U und der Zustandsverteilung nach Schritt k berechnet werden.

    Eine Übergangsmatrix U zu einem vollständigen Prozessdiagramm nennt man auch stochastische Matrix und sie erfüllt folgende Eigenschaften:

    • U ist quadratisch (gleich viele Zeilen wie Spalten).
    • In der m-ten Spalte stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man VOM m-ten Zustand aus die übrigen Zustände erreicht.
    • In der n-ten Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man ZUM n-ten Zustand gelangt.
    • Summe der Spalteneinträge von U ist 1.

    Werden im Prozessdiagramm NICHT ALLE möglichen Zustände berücksichtigt, so wird die Übergangsmatrix zum beschriebenen stochastischen Prozess auch keine stochastische Matrix sein.

Berechne einige Zustandsverteilungen und kreuze dann alle richtigen Aussagen an.

Ein stochastischer Prozess besitzt zwei Zustände A und B mit der Zustandsverteilung im Schritt k:
 
v
k
=
a
k
b
k
Der stochstischen Prozess ist gegeben durch Übergangsmatrix U und Startzustand:
U
=
0,5
0,5
 
 
 
 
0
1
Startzustand: 80% in Zustand A.
Richtig ist:
 
A ist ein absorbierender Zustand.
 
B ist ein absorbierender Zustand.
 
schon nach einem Schritt ist der Anteil in Zustand A kleiner als in B.
 
nach zwei Schritten sind 90% in Zustand B.
 
nach drei Schritten sind 90% in Zustand B.
  • Nebenrechung

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Stochastische Matrizen

Stochastische Prozesse lassen sich sehr übersichtlich in Matrix-Schreibweise darstellen. Dazu werden die Zustandsverteilungen zu Vektoren zusammengefasst. Die Übergangswahrscheinlichkeiten finden sich in den Koeffizienten der Berechnungsvorschriften wieder und können übersichtlich in der Übergangsmatrix U dargestellt werden.

Die Zustandsverteilung nach Schritt k+1 kann mittels einer Matrix-Multiplikation aus der Übergangsmatrix U und der Zustandsverteilung nach Schritt k berechnet werden.

Eine Übergangsmatrix U zu einem vollständigen Prozessdiagramm nennt man auch stochastische Matrix und sie erfüllt folgende Eigenschaften:

  • U ist quadratisch (gleich viele Zeilen wie Spalten).
  • In der m-ten Spalte stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man VOM m-ten Zustand aus die übrigen Zustände erreicht.
  • In der n-ten Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man ZUM n-ten Zustand gelangt.
  • Summe der Spalteneinträge von U ist 1.

Werden im Prozessdiagramm NICHT ALLE möglichen Zustände berücksichtigt, so wird die Übergangsmatrix zum beschriebenen stochastischen Prozess auch keine stochastische Matrix sein.

Beispiel 1
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen A, B und C ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0,2
0,65
0,15
 
 
 
0
0
1
mit:
 
a
k
+
1
b
k
+
1
c
k
+
1
=
U
·
a
k
b
k
c
k
Interpretiere die Matrixeinträge in der Form:
? % BLEIBEN im Zustand ?.
bzw. ? % wechseln VON Zustand ? ZU Zustand ?
Beispiel 2
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0
0,65
0,35
 
 
 
0
0
1
v
k
 
sei die Zustandsverteilung nach k Schritten.
Startzustand: alle in Zustand 1
Bestimme die Zustandsverteilung nach 2 Schritten.
Beispiel 3
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0
0,65
0,35
 
 
 
0
0
1
v
k
 
sei die Zustandsverteilung nach k Schritten.
Ist-Zustand: 15% in Zustand A, 48% in Zustand B, 37% in Zustand C
Bestimme die Zustandsverteilung einen Schritt vorher.