Stochastische Prozesse II - rechnen mit Übergangsmatrix (ohne GTR), Matheübungen

Multiplikation von Matrix mit Vektor, Einträge der Übergangsmatrix interpretieren, Zustandsverteilung der Vergangenheit berechnen - 15 Aufgaben in 4 Levels

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    Stochastische Matrizen

    Stochastische Prozesse lassen sich sehr übersichtlich in Matrix-Schreibweise darstellen. Dazu werden die Zustandsverteilungen zu Vektoren zusammengefasst. Die Übergangswahrscheinlichkeiten finden sich in den Koeffizienten der Berechnungsvorschriften wieder und können übersichtlich in der Übergangsmatrix U dargestellt werden.

    Die Zustandsverteilung nach Schritt k+1 kann mittels einer Matrix-Multiplikation aus der Übergangsmatrix U und der Zustandsverteilung nach Schritt k berechnet werden.

    Eine Übergangsmatrix U zu einem vollständigen Prozessdiagramm nennt man auch stochastische Matrix und sie erfüllt folgende Eigenschaften:

    • U ist quadratisch (gleich viele Zeilen wie Spalten).
    • In der m-ten Spalte stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man VOM m-ten Zustand aus die übrigen Zustände erreicht.
    • In der n-ten Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man ZUM n-ten Zustand gelangt.
    • Summe der Spalteneinträge von U ist 1.

    Werden im Prozessdiagramm NICHT ALLE möglichen Zustände berücksichtigt, so wird die Übergangsmatrix zum beschriebenen stochastischen Prozess auch keine stochastische Matrix sein.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 4
  • Kreuze alle richtigen Aussagen an.
    • Drei Mineralwasserfirmen Aquafit (A), Belaqua (B) und Classica (C) teilen die Marktanteile der Mineralwasserkunden unter sich auf. Immer wieder kommt es zu Marktverschiebungen. Diese sind durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
    U
    =
    0,5
    0,5
    0
     
     
     
     
    0
    1
    0
     
     
     
     
     
    0,2
    0,7
    0,1
    mit:
     
    a
    k
    +
    1
    b
    k
    +
    1
    c
    k
    +
    1
    =
    U
    ·
    a
    k
    b
    k
    c
    k
    In jeder Zeile ist genau eine Aussage richtig. Kreuze diese an:
    Wer kann alle Kunden bei sich halten?
     
    Aquafit
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    Belaqua
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    Classica
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    keiner
    Aquafit bekommt Neukunden:
     
    nur von B
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    von B und C
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    nur von C
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    von keinem
    Classica bekommt Neukunden:
     
    nur von A
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    von A und B
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    nur von B
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    von keinem
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Stoff zum Thema
Was sind stochastische Matrizen und wie werden sie verwendet?
#718

Stochastische Matrizen

Stochastische Prozesse lassen sich sehr übersichtlich in Matrix-Schreibweise darstellen. Dazu werden die Zustandsverteilungen zu Vektoren zusammengefasst. Die Übergangswahrscheinlichkeiten finden sich in den Koeffizienten der Berechnungsvorschriften wieder und können übersichtlich in der Übergangsmatrix U dargestellt werden.

Die Zustandsverteilung nach Schritt k+1 kann mittels einer Matrix-Multiplikation aus der Übergangsmatrix U und der Zustandsverteilung nach Schritt k berechnet werden.

Eine Übergangsmatrix U zu einem vollständigen Prozessdiagramm nennt man auch stochastische Matrix und sie erfüllt folgende Eigenschaften:

  • U ist quadratisch (gleich viele Zeilen wie Spalten).
  • In der m-ten Spalte stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man VOM m-ten Zustand aus die übrigen Zustände erreicht.
  • In der n-ten Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man ZUM n-ten Zustand gelangt.
  • Summe der Spalteneinträge von U ist 1.

Werden im Prozessdiagramm NICHT ALLE möglichen Zustände berücksichtigt, so wird die Übergangsmatrix zum beschriebenen stochastischen Prozess auch keine stochastische Matrix sein.

Beispiel 1
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0
0,65
0,35
 
 
 
0
0
1
v
k
 
sei die Zustandsverteilung nach k Schritten.
Ist-Zustand: 15% in Zustand A, 48% in Zustand B, 37% in Zustand C
Bestimme die Zustandsverteilung einen Schritt vorher.
Beispiel 2
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0
0,65
0,35
 
 
 
0
0
1
v
k
 
sei die Zustandsverteilung nach k Schritten.
Startzustand: alle in Zustand 1
Bestimme die Zustandsverteilung nach 2 Schritten.
Beispiel 3
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen A, B und C ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0,2
0,65
0,15
 
 
 
0
0
1
mit:
 
a
k
+
1
b
k
+
1
c
k
+
1
=
U
·
a
k
b
k
c
k
Interpretiere die Matrixeinträge in der Form:
? % BLEIBEN im Zustand ?.
bzw. ? % wechseln VON Zustand ? ZU Zustand ?