1.5 Basis und lineare Abhängigkeit, Matheübungen

Im ersten Level geht es hier um Begrifflichkeiten, im zweiten um lineare (Un)Abhängigkeit durch Hinsehen und im dritten umd rechnerische Überprüfung - Lehrplan - 14 Aufgaben in 3 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

    Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

    \[ a_1 \vec{v}_1 + a_2 \vec{v}_2 + \dots + a_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

    ist nur möglich mit \( a_1=a_2=\dots=a_n=0\).

  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 3
  • Überprüfe auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit.
  • Zwischen­schritte aktivieren
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    • \[\vec{v_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad\vec{v_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Die Vektoren sind:
     linear abhängig, weil bereits zwei der Vekoren parallel sind.
    linear unabhängig.
    nicht parallel aber komplanar, also linear abhängig.
    Das kann man nicht entscheiden.
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Stoff zum Thema
Wann sind n Vektoren im ℝ³ linear abhängig?
#1309

Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

\[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).

Für Vektoren ungleich dem Nullvektor lässt sich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit immer anschaulich interpretieren:
  • Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.
  • Drei Vektoren im ℝ³ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene sind. Letzteres ist erfüllt, wenn mindestens zwei der Vektoren parallel zueinander sind.

Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

\[ a_1 \vec{v}_1 + a_2 \vec{v}_2 + \dots + a_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

ist nur möglich mit \( a_1=a_2=\dots=a_n=0\).

Beispiel
Gegeben sind die drei Vektoren: \[\vec{v_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad\vec{v_2}= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} \]