Beschränktes Wachstum - explizit - Matheaufgaben und Online-Übungen

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Allgemeine Hilfe zu diesem Level
Die Schranke ist der Wert, dem sich die Wachstumsfunktion für große t annähert. Der Bestand entspricht dem Funktionswert zum entsprechenden Zeitpunkt. Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der Ableitung.
Beispiel

Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
Hilfe zum Thema

Wenn der Bestand bei einem Wachstumsvorgang einen bestimmten Wert (die so genannte Schranke S) nicht überschreitet (bzw. bei abnehmendem Bestand nicht unterschreitet), so liegt begrenztes Wachstum vor. Soll ein begrenzter Wachstumsvorgang durch eine Funktion f beschrieben werden, so wird ein Term der Form \(\displaystyle f(t)=S±c \cdot e^{-kt}\) verwendet. Sein Grenzwert für t gegen ∞ ist S.
Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 1

Lies Eigenschaften der gegebenen Wachstumsfunktion aus dem Term ab. Ergebnis(se) mit 1 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!

Die in ℝ definierte Funktion f mit

100

−

20e

−

0,69t

beschreibt einen begrenzten Wachstumsvorgang in Abhängigkeit der Zeit t in Tagen. Ermittle anhand des Funktionsterms …

… die Schranke:

… den Anfangsbestand:

… den Bestand nach einem Tag:

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Stoff zum Thema (+Video)

Was ist begrenztes Wachstum und welcher Funktionsterm wird zur Modellierung verwendet?

#1421

Wenn der Bestand bei einem Wachstumsvorgang einen bestimmten Wert (die so genannte Schranke S) nicht überschreitet (bzw. bei abnehmendem Bestand nicht unterschreitet), so liegt begrenztes Wachstum vor. Soll ein begrenzter Wachstumsvorgang durch eine Funktion f beschrieben werden, so wird ein Term der Form \(\displaystyle f(t)=S±c \cdot e^{-kt}\) verwendet. Sein Grenzwert für t gegen ∞ ist S.

Beispiel 1

Die in ℝ definierte Funktion f mit

100

−

20e

−

1,5t

beschreibt für

≥

einen begrenzten Wachstumsvorgang in Abhängigkeit der Zeit. Ermittle anhand des Funktionsterms …

… die Schranke:

▇

… den Anfangsbestand:

▇

… die Wachstumsgeschwindigkeit nach einer Zeiteinheit:

▇

Beispiel 2

Der Marktanteil eines neuen Smartphone-Modells liegt zum Zeitpunkt der Einführung bei 0% und nach einem halben Jahr schon bei 10%. Im weiteren Verlauf nähert sich der Marktanteil sogar einem maximalen Wert von 12% an.

Mit geeigneten Werten für S, c und k soll die zeitliche Entwicklung des Marktanteils durch eine Funktion M beschrieben werden, die jeder Zeit t in Monaten seit der Einführung des neuen Smartphone-Modells den aktuelle Marktanteil