Beschränktes Wachstum - explizit, Matheaufgaben

Modellierungsaufgaben zu begrenzten Wachstumsvorgängen unter Verwendung von e-Funktionen: Begriff der Schranke, Änderungsraten bei Wachstumsvorgängen, Aufstellen und Interpretieren von passenden Funktionstermen. - 13 Aufgaben in 4 Levels

Hilfe
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    Verwende den Anfangsbestand, den in der Abbildung markierten Punkt und die Schranke.
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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Wenn der Bestand bei einem Wachstumsvorgang einen bestimmten Wert (die so genannte Schranke S) nicht überschreitet (bzw. bei abnehmendem Bestand nicht unterschreitet), so liegt begrenztes Wachstum vor. Soll ein begrenzter Wachstumsvorgang durch eine Funktion f beschrieben werden, so wird ein Term der Form \(\displaystyle f(t)=S±c \cdot e^{-kt}\) verwendet. Sein Grenzwert für t gegen ∞ ist S.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2
  • Lies Eigenschaften des gegebenen Wachstumsvorgangs anhand des Graphen ab, um den passenden Term zu ermitteln. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!
    • Die Abbildung zeigt den Graphen eines begrenzten Wachstumsvorgangs.
    graphik
    Ermittle schrittweise einen passenden Term.
    Schritt 1 von 4
    Lies aus dem Graphen ab …
    … die Schranke: 
    … den Anfangsbestand: 
    … den Bestand für 
    t
    =
    3,5
    :
     
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist begrenztes Wachstum und welcher Funktionsterm wird zur Modellierung verwendet?
#1421
Wenn der Bestand bei einem Wachstumsvorgang einen bestimmten Wert (die so genannte Schranke S) nicht überschreitet (bzw. bei abnehmendem Bestand nicht unterschreitet), so liegt begrenztes Wachstum vor. Soll ein begrenzter Wachstumsvorgang durch eine Funktion f beschrieben werden, so wird ein Term der Form \(\displaystyle f(t)=S±c \cdot e^{-kt}\) verwendet. Sein Grenzwert für t gegen ∞ ist S.
Beispiel 1
Die in ℝ definierte Funktion f mit 
f
 
t
=
100
−
20e
−
1,5t
 beschreibt für 
t
 
≥
 
0
 einen begrenzten Wachstumsvorgang in Abhängigkeit der Zeit. Ermittle anhand des Funktionsterms …
… die Schranke: 
▇
… den Anfangsbestand: 
▇
… die Wachstumsgeschwindigkeit nach einer Zeiteinheit: 
▇
Beispiel 2
Der Marktanteil eines neuen Smartphone-Modells liegt zum Zeitpunkt der Einführung bei 0% und nach einem halben Jahr schon bei 10%. Im weiteren Verlauf nähert sich der Marktanteil sogar einem maximalen Wert von 12% an.
Mit geeigneten Werten für S, c und k soll die zeitliche Entwicklung des Marktanteils durch eine Funktion M beschrieben werden, die jeder Zeit t in Monaten seit der Einführung des neuen Smartphone-Modells den aktuelle Marktanteil 
M
 
t
=
S
−
c
·
e
−
kt
 in Prozent zuordnet.
Bestimme zudem, wie schnell der Marktanteil unmittelbar nach Einführung ansteigt.

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