Beschränktes Wachstum - explizit, Matheübungen

Modellierungsaufgaben zu begrenzten Wachstumsvorgängen unter Verwendung von e-Funktionen: Begriff der Schranke, Änderungsraten bei Wachstumsvorgängen, Aufstellen und Interpretieren von passenden Funktionstermen. - 13 Aufgaben in 4 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 4
  • Ermittle die gesuchten Werte und beschreibe deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
    • Um 1900 waren in weiten Teilen Europas keine Biber mehr vorhanden. Um die Tiere in einem Naturschutzgebiet wieder anzusiedeln, werden einige Tiere ausgewildert, die sich vermehren und im Laufe der Zeit eine größere Biberpopulation hervorbringen, die regelmäßig gezählt wird. Modellhaft wird die Anzahl der Biber im Naturschutzgebiet durch die Funktion P mit \(P(t)=270-260e^{-0,06t}\) dargestellt. Dabei ist t die Zeit seit der Wiederansiedlung in Jahren. Ermittle die folgenden Werte und beschreibe jeweils ihre Bedeutung im Sachzusammenhang: \[P(0)\] \[P(25)\] \[\lim_{t\to \infty}P(t)\]
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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist begrenztes Wachstum und welcher Funktionsterm wird zur Modellierung verwendet?
#1421
Wenn der Bestand bei einem Wachstumsvorgang einen bestimmten Wert (die so genannte Schranke S) nicht überschreitet (bzw. bei abnehmendem Bestand nicht unterschreitet), so liegt begrenztes Wachstum vor. Soll ein begrenzter Wachstumsvorgang durch eine Funktion f beschrieben werden, so wird ein Term der Form \(\displaystyle f(t)=S±c \cdot e^{-kt}\) verwendet. Sein Grenzwert für t gegen ∞ ist S.
Beispiel 1
Die in ℝ definierte Funktion f mit 
f
 
t
=
100
−
20e
−
1,5t
 beschreibt für 
t
 
≥
 
0
 einen begrenzten Wachstumsvorgang in Abhängigkeit der Zeit. Ermittle anhand des Funktionsterms …
… die Schranke: 
▇
… den Anfangsbestand: 
▇
… die Wachstumsgeschwindigkeit nach einer Zeiteinheit: 
▇
Beispiel 2
Der Marktanteil eines neuen Smartphone-Modells liegt zum Zeitpunkt der Einführung bei 0% und nach einem halben Jahr schon bei 10%. Im weiteren Verlauf nähert sich der Marktanteil sogar einem maximalen Wert von 12% an.
Mit geeigneten Werten für S, c und k soll die zeitliche Entwicklung des Marktanteils durch eine Funktion M beschrieben werden, die jeder Zeit t in Monaten seit der Einführung des neuen Smartphone-Modells den aktuelle Marktanteil 
M
 
t
=
S
−
c
·
e
−
kt
 in Prozent zuordnet.
Bestimme zudem, wie schnell der Marktanteil unmittelbar nach Einführung ansteigt.

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