Bruchgleichungen, Matheübungen

Lösung mittels Graf, kreuzweiser Multiplikation bzw. Multiplikation mit dem Hauptnenner; Einschränkungen für x und Proberechnung; Textaufgaben - Lehrplan - 50 Aufgaben in 9 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Zwischenschritt

    Überlege, welche Koordinate den Abstand zur jeweiligen Achse beschreibt.

  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion kann die x-Achse und die y-Achse schneiden. Punkte auf der x-Achse haben y-Koordinate 0, Punkte auf der y-Achse haben x-Koordinate 0. Vorgehensweise, um die jeweils fehlende Koordinate zu bestimmen:
    • Schnittpunkt mit der x-Achse: Löse die Gleichung f(x) = 0.
    • Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechne f(0).
  • Tipp zum Level
    Überlege, welche Koordinate auf der jeweiligen Koordinatenachse immer null ist.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen.

    Hinweis: Gib Brüche in der Form a/b ein.

  • Zwischenschritte aktiviert
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

    • Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f\) mit dem Term \(\displaystyle f(x)=\frac{6}{x+2}-1\) und Definitionsmenge \(\displaystyle D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\text{.}\)

    Schnittpunkt mit der \(\displaystyle x\text{-}\)Achse:

    \(\displaystyle S_x( ▉ \mid ▉ )\)Es gibt keinen.

    Schnittpunkt mit der \(\displaystyle y\text{-}\)Achse:

    \(\displaystyle S_y( ▉ \mid ▉ )\)Es gibt keinen.
    Schritt 1 von 3

    Gib alle Koordinaten an, die gleich \(\displaystyle 0\) sind. Fülle alle noch unbekannten Felder mit \(\displaystyle !\) aus.

    Schnittpunkt mit der \(\displaystyle x\text{-}\)Achse: \(\displaystyle S_x(\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\mid\class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}})\)

    Schnittpunkt mit der \(\displaystyle y\text{-}\)Achse: \(\displaystyle S_y(\class{mathjax-input mathjax-input-3}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\mid\class{mathjax-input mathjax-input-4}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}})\)

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Stoff zum Thema (+Video)
Bruchgleichungen einfach erklärt – einfache Bruchgleichung lösen
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Bruchgleichungen einfach erklärt – einfache Bruchgleichung lösen

Kanal: MathemaTrick
Wie bestimmt man die Schnittpunkte eines Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Koordinatenachsen?
#840
Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion kann die x-Achse und die y-Achse schneiden. Punkte auf der x-Achse haben y-Koordinate 0, Punkte auf der y-Achse haben x-Koordinate 0. Vorgehensweise, um die jeweils fehlende Koordinate zu bestimmen:
  • Schnittpunkt mit der x-Achse: Löse die Gleichung f(x) = 0.
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechne f(0).
Beispiel
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
−
1
x
−
2
+
0,5
 und Definitionsmenge D = ℝ\{2}. Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.
Wie stellt man eine Formel um, sodass eine Variable allein steht?
#1518

Die Variable muss allein stehen. Gliedere den Term und mache die Rechenoperationen von außen nach innen rückgängig:

Plus ↔ Minus

Mal ↔ Geteilt

Beispiel

Stelle die Formel \(x= a\cdot b + c\) nach \(a\) um.

Wie lautet die Lösung der Gleichung 1/x = a?
#217

Die Bruchgleichung 1/x=a (anders ausgedrückt x−1=a) hat für alle a≠0 die Lösung 1/a (Kehrbruch). Für a=0 gibt es dagegen keine Lösung.

Beispiel
Löse die Gleichung.
2
+
3x
−
1
=
8
Wie löst man Bruchgleichungen der Form a / b = c / d am einfachsten?
#1127
Bruchgleichungen der Art a / b = c / d löst man am einfachsten durch Überkreuzmultiplizieren: man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.
Beispiel
Löse die Gleichung:
3
x
=
2
7
Wie macht man eine Bruchgleichung nennerfrei und was sollte man beachten?
#222
Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.
Beispiel
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
Warum müssen bei Bruchgleichungen bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden?
#218
Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.
Beispiel
Welche x-Werte gehören bei folgender Gleichung nicht zur Grundmenge?
3
x
−
1
=
5
−
x
2x
+
3
Welche Überprüfungen sind nach der Umformung einer Bruchgleichung notwendig?
#219
Hat man für eine Bruchgleichung eine Lösung ermittelt, sollte man sie noch einmal überprüfen:
  1. Im Nenner darf sich nicht Null ergeben
  2. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 3 = 3)