Brüche - Erweitern und Kürzen, Matheübungen

- Lehrplan für 8.-9. Jgst - 99 Aufgaben in 16 Levels

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    "Erweitern" eines Bruchterms bedeutet, dass man Zähler- und Nennerterm mit derselben Zahl, derselben Variable oder demselben Term multipliziert.

    Liegt z.B. der Nenner des erweiterten Bruchterms vor, so muss man diesen durch den ursprünglichen Nenner teilen, um den Erweiterungsfaktor zu bestimmen.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 12
  • Wie lautet der (ausmultiplizierte) Zähler des erweiterten Bruchterms? Gib x-Potenzen in der Form x^n ein.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • 2x
    −
    3
    3x
    =
    12x
    2
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Was bedeutet das Kürzen eines Bruchs und wie wird es durchgeführt?
#21
Kürzen bedeutet, dass man Zähler und Nenner durch dieselbe ganze Zahl teilt. Der Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht.
Beispiel
Kürze den Bruch 
252
420
 so weit wie möglich.
Was bedeutet es, einen Bruch zu erweitern?
#17
Erweitern heißt, dass man Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl multipliziert. Der Wert des Bruchs ändert sich dadurch nicht.
Was bedeutet Prozent und Promille und wie rechnet man Brüche in Prozent oder Promille um?
#409
% (Prozent) ist eine Abkürzung für "der hundertste Teil".
z.B. 7% = 7/100.

‰ (Promille) ist eine Abkürzung für "der tausendste Teil".
z.B. 7 ‰ = 7/1000.

Um einen Bruch in Prozent bzw. Promille umzuwandeln (falls möglich), gehe wie folgt vor: Kürze und/oder erweitere den Bruch so, dass sich im Nenner die Zahl 100 bzw. 1000 ergibt.

Beispiel
63
84
=
?%
Wie berechnet man einen Bruchteil einer Größe und wie wird das Ergebnis bezeichnet?
#306
a/b von einer bestimmten Größe erhält man, indem man die Größe durch b teilt ("der b-te Teil") und davon a mal so viel nimmt.

Das Ergebnis ist dann ein sog. Bruchteil von der Ausgangsgröße.

Beispiel
Gib den Bruchteil in Minuten an:
3
5
 von 1h
Welcher Anteil kann jedem Bruchteil einer Ausgangsgröße zugeordnet werden und wie wird das berechnet?
#309
Jedem Bruchteil (Zahl mit Einheit) kann ein Anteil (Bruch) zugeordnet werden. Geht man z.B. von 600 g aus, so entspricht
  • der Bruchteil 300 g dem Anteil 1/2 (die Hälfte)
  • der Bruchteil 200 g dem Anteil 1/3 (der dritte Teil)
  • der Bruchteil 400 g dem Anteil 2/3 (zwei mal der dritte Teil)
Beispiel
84 min
=
?h
Wie findet man die Erweiterungsfaktoren für Brüche nach Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Nenners?
#38
Wenn du den gemeinsamen Nenner gefunden hast, musst du nur noch richtig erweitern. Den jeweiligen Erweiterungsfaktor findest du am einfachsten, wenn du die Primfaktorzerlegung des ursprünglichen Nenners mit der Primfaktorzerlegung des gemeinsamen Nenners vergleichst.
Beispiel
Berechne.
25
84
−
25
126
=
?
Ermittle dazu zunächst den kleinsten gemeinsamen Nenner und erweitere dann beide Brüche passend.
Beispiel
Laut Haushaltplan 2023 (Sollwerte) sind für das Ministerium für Digitales und Verkehr ca. 36 Mrd Euro vorgesehen, da sind ca. 
3
40
 der Gesamtausgaben des Bundes.
a) Berechne die vorgesehenen Gesamtausgaben des Bundes im Jahr 2023.
b) Im Jahr zuvor war der selbe Betrag für "Digitales und Verkehr" vorgesehen, was ca. 
9
125
 der Gesamtausgaben 2022 entspricht. Wie haben sich die Gesamtausgaben 2023 gegenüber 2022 verändert?
Was muss man beim Kürzen von Bruchtermen beachten?
#280
Ein Bruchterm lässt sich kürzen, wenn Zähler und Nenner (als Produkt dargestellt) in einem Faktor übereinstimmen. Das setzt, wie schon gesagt, Produkte auf beiden Seiten des Bruchstrichs voraus. Aus Summen oder Differenzen heraus darf nicht gekürzt werden!
Beispiel
Mit welchen Faktoren kann jeweils gekürzt werden?
6x
2
−
1
2x
2
  ;  
6x
·
x
−
1
2x
2
  ;   
6
 
x
−
1
2
2
 
1
−
x
Was bedeutet das Kürzen von Bruchtermen?
#281
"Kürzen" bedeutet, dass man Zähler- und Nennerterm durch dieselbe Zahl oder durch dieselbe Variable oder durch denselben Teilterm dividiert.
Beispiel
Kürze so weit wie möglich.
10x
·
3
−
x
2
12x
−
4x
2
Wie kann man Bruchterme mit Summen oder Differenzen im Zähler oder Nenner kürzen?
#282
Differenzen und Summen können evtl. durch Ausklammern geeigneter Zahlen, Variablen oder Teilterme in Produkte übergeführt werden. Hat man Glück, lässt sich dadurch ein Bruchterm (weiter) kürzen.
Was versteht man unter dem Erweitern von Bruchtermen?
#283
"Erweitern" eines Bruchterms bedeutet, dass man Zähler- und Nennerterm mit derselben Zahl, derselben Variable oder demselben Term multipliziert.

Liegt z.B. der Nenner des erweiterten Bruchterms vor, so muss man diesen durch den ursprünglichen Nenner teilen, um den Erweiterungsfaktor zu bestimmen.

Beispiel
Ergänze den Zähler des erweiterten Bruchterms:
4x
·
y
+
1
3a
2
=
?
15a
3
 
b
2
·
x
·
y
+
1
2
Sind erweiterter oder gekürzter Bruchterm und der ursprüngliche Bruchterm äquivalent?
#284
Durch Erweitern bzw. Kürzen eines Bruchterms verkleinert bzw. vergrößert sich evtl. die Menge aller möglichen Einsetzungen. Darum sind der erweiterte/gekürzte Term und der ursprüngliche nicht von Haus aus äquivalent, sondern nur, wenn man sie auf die kleinere Definitionsmenge beider Terme bezieht.
Beispiel
Sind die beiden Terme   
6x
2
−
2x
3x
−
1
   und   2x   äquivalent und wenn ja für welche Einsetzungen?
Was muss man bei der Addition oder Subtraktion von Bruchtermen beachten?
#286
Sofern die Nenner gleich sind, können die Zählerterme addiert bzw. subtrahiert werden.