Daten & Zufall, Matheübungen

- Basisaufgaben zur Wiederholung G9 - 144 Aufgaben in 27 Levels

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    Jedes Ereignis E besitzt ein Gegenereignis E, das alle anderen Ergebnisse umfasst, die die nicht zu E gehören. Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments gehört also entweder zu E oder zum E.

    Achtung: Gegenereignis ≠ Gegenteil (umgangssprachlich). Das Gegenereignis von z.B. "alle Bälle weiß" (beim mehrmaligen Ziehen aus einer Urne mit schwarzen und weißen Bällen) ist nicht "alle Bälle schwarz", sondern "mindestens ein Ball schwarz".

    Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich jeweils zu 100%.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 12
  • Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Verwende dazu das Gegenereignis.
    • Ein Glücksrad mit fünf verschieden großen Feldern, die farbig markiert sind, wird gedreht. 
    Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
    Farbe
    rot
    grün
    gelb
    blau
    weiß
    Wahrscheinlichkeit
    25%
    15%
    20%
    5%
    35%
    Die Wahrscheinlichkeit für "nicht rot" beträgt: 
    %
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Wie liest man absolute und relative Häufigkeiten in Säulendiagrammen ab?
#865

Absolute und relative Häufigkeiten aus Säulendiagrammen ablesen:

  • Im Säulendiagramm kann man absolute Häufigkeiten meist aus der Säulenhöhe an der y-Achse ablesen.
  • Die Gesamtzahl ergibt sich meist als Summe der Säulenhöhen.
  • Für die relativen Häufigkeiten bildet man wie üblich den Quotienten aus der absoluten Häufigkeit und der Gesamtzahl.
  • In komplizierteren Fällen muss man aber beachten, auf welche Gesamtzahl sich eine relative Häufigkeit bezieht (z.B. berücksichtigt man bei "Haustierbesitzer unter den Mädchen" als Gesamtzahl nur die Anzahl der Mädchen) .
Beispiel
Die Anzahl der Mädchen und Jungen in der Klasse 7A, unterteilt nach ihren Körpergrößen in cm, werden in einem Diagramm dargestellt:
graphik
Bestimme:
  • die absolute Häufigkeit von Mädchen in der 7A, die kleiner als 150cm sind
  • die absolute Häufigkeit von Jungen in der 7A
  • die relative Häufigkeit von Kindern in der 7A, die mindestens 160cm groß sind
  • die relative Häufigkeit, mit der Jungen in der 7A mindestens 170cm, aber weniger als 180cm groß sind
Wie sind ein Kreisdiagramm und ein Säulendiagramm aufgebaut?
#307
Ein Kreisdiagramm enthält unterschiedlich große Sektoren ("Kuchenstücke"), deren Winkel man Mittelpunktswinkel nennt. Deren Summe (360°) entspricht der Summe der dargestellten Bruchteile.

Ein Säulendiagramm enthält unterschiedlich hohe Säulen. Die Summe der Höhen entspricht der Summe der dargestellten Bruchteile.

Beispiel
Die Zusammensetzung eines Getränks wird durch ein Kreisdiagramm erläutert: Orangensaft (216°), Erdbeersaft (60°) und Wasser (84°). Welche Bruchteile ergeben sich daraus bei einer Gesamtmenge von 1,5 Liter?
Was ist die Grundgleichung der Prozentrechnung und ihre Komponenten?
#125
Die Grundgleichung der Prozentrechnung lautet:

PS · GW = PW

PS = Prozentsatz
GW = Grundwert
PW = Prozentwert

Beispiel
Überlege jeweils zuvor, ob Prozentwert, Prozentsatz oder Grundwert gefragt sind und löse dann:

(a) Ein Videospiel wurde von ursprünglich 19,90 € um 30% reduziert . Wie viel kostet es jetzt?

(b) Eine Gruppe setzt sich aus 15 Deutschen und 25 Franzosen zusammen. Wie viel Prozent der Gruppenmitglieder sind Deutsche?

(c) In einem reichen Vorort Münchens sind angeblich 22% aller Einwohner Millionäre. Wie viele Einwohner hat der Ort insgesamt, wenn dort 2431 Millionäre leben?

Wie zeichnet man einen Boxplot zur Darstellung von Daten?
#662

Ein Boxplot ist eine übersichtliche, graphische Veranschaulichung einer Datenmenge.

Um den Bereich der beiden Quartile zeichnet man eine Box. In dieser Box (oder auf ihrem Rand) liegen ungefähr 50% aller Daten. Innerhalb der Box ist der Median durch einen senkrechten Strich repräsentiert.

Unter dem unteren Quartil und über dem oberen Quartil liegen jeweils ungefähr 25% der Werte. Diese Bereiche werden durch die beiden "Antennen" von der Box aus bis zum Minimum bzw. Maximum markiert. Die Antennen veranschaulichen die Ausdehnung der gesamten Datenmenge.

.
Was sind Mittelwert, Median, Modalwert, Minimum, Maximum und Spannweite in der Statistik?
#802

Statistische Kenngrößen:

Mittelwert / arithmetisches Mittel:

  • Der Mittelwert ist die Summe aller Zahlen der Datenmenge geteilt durch die Anzahl der Zahlen in der Datenmenge.

Median (Zentralwert):

  • In der geordneten Datenmenge der zentrale Wert (bei ungeradzahliger Datenreihe) bzw. das arithmetische Mittel der beiden zentralen Werte (geradzahlige Datenreihe).

Modalwert:

  • Der Modalwert ist der Wert, der in der Datenmenge am häufigsten vorkommt.

Minimum:

  • Das Minimum ist der kleinste Wert in der Datenmenge.

Maximum:

  • Das Maximum ist der größte Wert in der Datenmenge.

Spannweite:

  • Die Spannweite ist die Differenz von Maximum und Minimum.

Beispiel
Lilian übt jeden Tag fleißig Aufgaben bei Mathegym. Sie versucht jeweils auf mindestens 25 Checkos zu kommen. Ihre Ergebnisse in dieser Woche lauten:
Tag
Anzahl der Checkos
Mo
28
Di
25
Mi
25
Do
35
Fr
22
Sa
27
Ordne den Datensatz, gib den Median an und bestimme die Spannweite.
Was ist das arithmetische Mittel und wie wird es berechnet?
#392
Das arithmetische Mittel (meist nur "Mittelwert" genannt) mehrerer Größen erhält man, indem man die Summe aller Größen durch deren Anzahl teilt.
Wie berechnet man die Anzahl der Pfade in einem Baumdiagramm mit dem Zählprinzip?
#254

Laut dem Zählprinzip kann man die gesamte Anzahl der Pfade in einem Baumdiagramm berechnen, indem man die Anzahlen der Verzweigungen aller Stufen miteinander multipliziert.

Das funktioniert natürlich nur, wenn innerhalb einer Stufe nicht unterschiedliche Verzweigungszahlen vorliegen.

Beispiel
Roman stellt sich ein Menü aus Vor- Haupt- und Nachspeise zusammen. Bei der Vorspeise hat er die Auswahl zwischen X und Y. Bei der Hauptspeise kann er zwischen drei Gerichten A, B und C wählen. Und bei der Nachspeise stehen zwei Optionen R und S zur Auswahl. Wieviele Möglichkeiten hat Roman insgesamt?
Was sind die charakteristischen Eigenschaften eines Zufallsexperiments?
#829
Ein Zufallsexperiment erfüllt folgende Kriterien:
  • Es sind verschiedene Versuchsausgänge (Ergebnisse) möglich.
  • Alle möglichen Ergebnisse kann man vor dem Experiment angeben.
  • Es kann nicht vorhergesagt werden, welches dieser Ergebnisse eintritt.
  • Man kann das Experiment beliebig oft wiederholen.
Die Menge aller möglichen Ergebnisse bezeichnet man manchmal als Ergebnisraum "Omega".
Beispiel
Handelt es sich um ein Zufallsexperiment? Wenn ja, dann gib alle möglichen Ergebnisse an.
1. Werfen von einem Würfel
2. Welcher Wochentag ein bestimmtes Datum ist.
Wie wird ein Ereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschrieben und gib ein Beispiel.
#164

Ein Ereignis ist eine Auswahl aus der Menge aller möglichen Versuchsausgänge. Es kann daher als Teilmenge der Gesamtmenge Ω aufgefasst werden.

Statt ein Ereignis mit Worten zu beschreiben, wie z.B. gerade Augenzahl (beim Würfeln), kann man es auch in aufzählender Form, also als Menge {2;4;6} schreiben.

Mit der Mächtigkeit |E| ist dann, wie bei |Ω|, die Anzahl der Ergebnisse gemeint, die in der Menge E enthalten sind.

Was versteht man unter einem Gegenereignis und welche häufige Verwechslung gibt es dabei?
#169
Jedes Ereignis E besitzt ein Gegenereignis E, das alle anderen Ergebnisse umfasst, die die nicht zu E gehören. Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments gehört also entweder zu E oder zum E.

Achtung: Gegenereignis ≠ Gegenteil (umgangssprachlich). Das Gegenereignis von z.B. "alle Bälle weiß" (beim mehrmaligen Ziehen aus einer Urne mit schwarzen und weißen Bällen) ist nicht "alle Bälle schwarz", sondern "mindestens ein Ball schwarz".

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich jeweils zu 100%.

Beispiel 1
Formuliere jeweils das Gegenereignis:
Experiment Einmal Würfeln:
     A: gerade Augenzahl     B: Augenzahl kleiner als 2     C: Augenzahl 3
Experiment 5 mal hintereinander die Münze werfen:
     D: letzter Wurf Kopf     E: nur Kopf     F: mindestens zweimal Zahl
Beispiel 2
Beim Würfeln mit zwei Würfeln gelten folgende gerundete Wahrscheinlichkeiten:
Augensumme
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Wahrscheinlichkeit
2,8%
5,6%
8,3%
11,1%
13,9%
16,6%
13,9%
11,1%
8,3%
5,6%
2,8%
Berechne die Wahrscheinlichkeit für "Augensumme ist mindestens 4".
Was versteht man unter der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?
#417
Bei vielen Zufallsexperimenten haben wir eine konkrete Erwartung, wie oft ein bestimmtes Ergebnis eintreten wird, wenn wir das Experiment mehrmals durchführen. Dieser Anteil wird durch die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ergebnis ausgedrückt.
Beispiel
Wahrscheinlichkeit für "Augensumme 2" beim Würfeln?
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Laplace-Experiment?
#447

Bei einem Laplace-Experiment kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E nach folgender Formel bestimmen:

Anzahl der Ergebnisse in E : Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Was sind Schnittmenge und Vereinigungsmenge und welche Symbole repräsentieren sie?
#298
Überlege: Liegt ein Element der abgebildeten Menge in A oder nicht? Liegt es in B oder nicht? Liegt es zugleich in mehreren Mengen? Zur Erinnerung: ∩ bedeutet "und zugleich" also Schnittmengenbildung. ∪ bedeutet "im einen oder im anderen" also Vereinigungsmenge = "alles in einen Topf".
Was ist in der Stochastik bezüglich des Begriffs "oder" zu beachten?
#299
Überlege: Tritt Ereignis A ein? Tritt Ereignis B ein? Treten beide zugleich ein? Oder sind die beiden Ereignisse anders verknüpft?

Beachte auch den Unterschied von "Oder" und "Entweder oder". In der Stochastik bedeutet "x liegt in A oder in B", dass x in A oder in B oder in beiden Mengen zugleich liegen kann. Möchte man ausdrücken, dass x in A oder in B aber nicht in beiden zugleich liegt, so sagt man explizit: "x liegt ENTWEDER in A oder in B."

Was bedeutet es, wenn bei zwei Ereignissen A und B in der Stochastik "mindestens eines" oder "höchstens eines" eintritt?
#295
  • "Mindestens eines" heißt bei zwei Ereignissen: A oder B oder beide aber nicht keines.
  • "Höchstens eines" heißt bei zwei Ereignissen: Entweder A oder B oder keines von beiden aber nicht beide zugleich.
Welche Werte stehen in einer Vierfeldertafel und was sagen die Randwerte sowie das Feld unten rechts aus?
#381

In der Vierfeldertafel können absolute Häufigkeiten (natürliche Zahlen) oder relative Häufigkeiten / Wahrscheinlichkeiten (Dezimalbrüche) gegenübergestellt werden.

Alle vier Felder ergeben in der Summe die Gesamtzahl der Stichproben (absolute Häufigkeiten) bzw. 1 (realive Häufigkeiten / Wahrscheinlichkeiten). Diese steht ganz unten rechts.

Neben den vier eigentlichen Feldern sind die Randfelder zu beachten. Hier handelt es sich um die Summen der jeweiligen Zeilen bzw. Spalten.

Beispiel
Ergänze die Vierfeldertafel:
(a) absolute Häufigkeiten
A
A
B
4
13
B
25
150
(b) relative Häufigkeiten
A
A
B
0,17
0,83
B
0,15
 
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment?
#246
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis, indem man die Ast-Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert (1. Pfadregel).
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E in einem mehrstufigen Zufallsexperiment?
#248
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann ein Ereignis E mehrere Pfade im Baumdiagramm umfassen. Um die Wahrscheinlichkeit von E zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade addieren (2. Pfadregel).
Wie funktioniert die Monte-Carlo-Methode zur Abschätzung von Flächeninhalten?
#955
Mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode lassen sich Flächeninhalte, für deren Berechnung man keine Formel hat bzw. kennt, ziemlich genau abschätzen. Man erzeugt hierbei sehr viele Zufallspunkte innerhalb eines berechenbaren Flächenstücks, das die gesuchte Fläche enthält. Der Anteil der Zufallspunkte, die auf das gesuchte Flächenstück fallen, ermöglicht eine Abschätzung von dessen Inhalt.
Beispiel
Bestimme mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode eine Annäherung an die Kreiszahl π.