Der Kosinusatz, Matheübungen

Größen in einem Dreieck bestimmen, von dem zwei Größen bekannt sind; Anwendungen - Lehrplan für 5.-11. Klasse

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Beachte, dass der gegebene Winkel nicht unmittelbar weiterhilft, sondern zuerst die Winkel zwischen Pylon und der horizontalen Ebene berechnet werden müssen.
  • Im rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich die beiden anderen Winkel zu 90°.

In der gegebenen Sachsituation sind mehrere Größen gesucht. Bestimme sie.

  • Die Puente del Alamillo ist eine Schrägseilbrücke über den Guadalquivir in Sevilla. Sie hat eine Spannweite von 
    d
    =
    200m
     und wird von einem schrägen Pylon der Länge 
    p
    =
    142m
     durch 26 Stahlseile getragen. Der Pylon ist um 32° aus der Vertikalen verkippt. Berechne die Höhe h der Brücke und die Länge s der längsten Stahlseile (siehe Abbildung) auf Meter genau.
    graphik
    h
     
    ≈
     
     
    m
    s
     
    ≈
     
     
    m
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Wie lautet der Kosinussatz und wie wird er angewendet?
#648
Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Kosinussatz gilt:

a² = b² + c² − 2bc · cos(α)

b² = a² + c² − 2ac · cos(β)

c² = a² + b² − 2ab · cos(γ)

Am besten, man merkt sich den Satz so:

"(beliebige) Seite zum Quadrat = Summe der anderen beiden Seitenquadrate minus 2 mal Produkt dieser Seiten mal cos vom Zwischenwinkel"

Beispiel
Das folgende Video zeigt anhand eines Beispiels, wie man den Kosinussatz anwendet.
Wie wendet man den Sinus- und Kosinussatz in Sachaufgaben an und unter welchen Voraussetzungen?
#888

In Sachaufgaben kannst du folgendermaßen vorgehen:

  1. Suche in der Figur nach Dreiecken mit mindestens drei gegebenen Stücken. (Tipp: Markiere in einer Skizze die gegebenen Stücke grün und die gesuchten Stücke rot.)
  2. Je nach Art der gegebenen Stücke kannst du nun den Sinus- oder den Kosinussatz verwenden:
    • Eine Strecke und zwei Winkel gegeben: Der dritte Winkel ergibt sich aus der Winkelsumme, die fehlenden Strecken aus dem Sinussatz.
    • Zwei Strecken und der Zwischenwinkel gegeben: Die dritte Strecke ergibt sich aus dem Kosinussatz, die fehlenden Winkel aus dem Sinussatz.
    • Zwei Strecken und ein anderer Winkel gegeben: Die weiteren Winkel ergeben sich aus dem Sinussatz und der Winkelsumme, die fehlende Strecke aus dem Kosinussatz.
    • Drei Strecken gegeben: Ein Winkel kann mit dem Kosinussatz berechnet werden, die restlichen mit dem Sinussatz bzw. aus der Winkelsumme.
Tipp: In rechtwinkligen Dreiecken werden Sinus- und Kosinussatz nicht benötigt, da du einfacher mit dem Sinus, Kosinus und Tangens bzw. dem Satz von Pythagoras arbeiten kannst.