Die Sigma-Regeln, Matheaufgaben

Wahrscheinlichkeitsbestimmung bei gegebenem Intervall und umgekehrt; Begründung gegebener Aussagen

Hilfe
  • Für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind oft Wahrscheinlichkeiten dafür von Interesse, dass X in einem um μ symmetrischen Intervall liegt. In diesem Fall helfen die so genannten Sigma-Regeln:
    • Intervall gegeben, Wahrscheinlichkeit gesucht
    P(X ∈ [μ - σ; μ + σ]) ≈ 0,683
    P(X ∈ [μ - 2σ; μ + 2σ]) ≈ 0,954
    P(X ∈ [μ - 3σ; μ + 3σ]) ≈ 0,997
    • Wahrscheinlichkeit gegeben, Intervall gesucht
    P(X ∈ [μ - 1,64σ; μ + 1,64σ]) ≈ 0,90
    P(X ∈ [μ - 1,96σ; μ + 1,96σ]) ≈ 0,950
    P(X ∈ [μ - 2,58σ; μ + 2,58σ]) ≈ 0,990
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe der Sigma-Regeln. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit 
    μ
    =
    5
     und 
    σ
    =
    1
    .
    Ermittle nur mithilfe der Sigma-Regeln die Wahrscheinlichkeit in Prozent dafür, dass X um mehr als 1 von 5 abweicht.
    Gesuchte Wahrscheinlichkeit: 
     
    %
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wie helfen die Sigma-Regeln bei normalverteilten Zufallsgrößen und wie lauten sie?
#1333
Für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind oft Wahrscheinlichkeiten dafür von Interesse, dass X in einem um μ symmetrischen Intervall liegt. In diesem Fall helfen die so genannten Sigma-Regeln:
  • Intervall gegeben, Wahrscheinlichkeit gesucht
P(X ∈ [μ - σ; μ + σ]) ≈ 0,683
P(X ∈ [μ - 2σ; μ + 2σ]) ≈ 0,954
P(X ∈ [μ - 3σ; μ + 3σ]) ≈ 0,997
  • Wahrscheinlichkeit gegeben, Intervall gesucht
P(X ∈ [μ - 1,64σ; μ + 1,64σ]) ≈ 0,90
P(X ∈ [μ - 1,96σ; μ + 1,96σ]) ≈ 0,950
P(X ∈ [μ - 2,58σ; μ + 2,58σ]) ≈ 0,990
Beispiel 1
Ermittle für die normalverteilte Zufallsgröße X mit 
μ
=
52
 und 
σ
=
10
 nur mithilfe der Sigma-Regeln:
a) die Wahrscheinlichkeit, dass X um höchstens 20 von 52 abweicht
b) 
P
 
X
 
≥
 
62
Beispiel 2
Ermittle für die normalverteilte Zufallsgröße X mit 
μ
=
52
 und 
σ
=
10
 nur mithilfe der Sigma-Regeln:
a) ein Intervall I so, dass die Wahrscheinlichkeit 
P
 
X
 
∈
 
I
 ungefähr 99% beträgt
b) 
a
 
∈
 
ℝ
 so, dass 
P
 
a
 
≤
 
X
 
≤
 
52
 
≈
 
45%

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