Normalverteilung, Matheaufgaben

Wahrscheinlichkeitsbestimmung bei normalverteilter Zufallsgröße; μ und σ oder Graph der Dichtefunktion gegeben; Modellierung

Hilfe
  • Eine Zufallsgröße X nennt man normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ, wenn ihre Dichtefunktion eine Gauß'sche Glockenfunktion φ mit den Parametern μ und σ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte von X in einem Intervall [a; b] liegen, ist also das Integral über φ mit Untergrenze a und Obergrenze b, und kann mit dem Taschenrechner oder graphisch als Inhalt des entsprechenden Flächenstücks unter dem Graphen von φ ermittelt werden.
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Ermittle für eine normalverteilte Zufallsgröße X die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 3. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit 
    μ
    =
    10
     und 
    σ
    =
    1
    .
    Verwende bei der ersten Aufgabe den Taschenrechner und versuche, die zweite Aufgabe ohne Taschenrechner zu lösen.
    P
     
    9
     
    ≤
     
    X
     
    ≤
     
    11
     
    ≈
     
    P
     
    X
    =
    10
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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Was ist eine normalverteilte Zufallsgröße X und wie bestimmt man die Wahrscheinlichkeit für Werte in einem Intervall [a; b]?
#1329
Eine Zufallsgröße X nennt man normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ, wenn ihre Dichtefunktion eine Gauß'sche Glockenfunktion φ mit den Parametern μ und σ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte von X in einem Intervall [a; b] liegen, ist also das Integral über φ mit Untergrenze a und Obergrenze b, und kann mit dem Taschenrechner oder graphisch als Inhalt des entsprechenden Flächenstücks unter dem Graphen von φ ermittelt werden.
Beispiel 1
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit 
μ
=
30
 und 
σ
=
3
.
 Ermittle die folgenden Wahrscheinlichkeiten auf drei Dezimalen genau. Verwende bei a) den Taschenrechner und ermittle die restlichen Wahrscheinlichkeiten ohne Taschenrechner, aber mit Begründung:
a) 
P
 
25
 
≤
 
X
 
≤
 
35
b) 
P
 
X
 
∈
 
30;
 
35
c) 
P
 
X
=
33
d) 
P
 
X
 
≥
 
25
Beispiel 2
Ein Hersteller von Tiefkühl-Produkten stellt Apfelstrudel mit einem Nenngewicht von 600 Gramm her. Gemäß der sogenannten Fertigpackungsverordnung darf dieses um höchstens 15 Gramm unterschritten werden.
a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Apfelstrudel gegen die Verordnung verstößt, wenn die Gewichte der Apfelstrudel in Gramm normalverteilt sind, im Durchschnitt dem Nenngewicht entsprechen, jedoch eine Standardabweichung von 5 Gramm besitzen.
b) Bestimme außerdem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Apfelstrudel auf Gramm gerundet wirklich ein Gewicht von 600 Gramm besitzt.
Beispiel 3
graphik
Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße X.
a) Ermittle 
P
 
−
2,5
 
≤
 
X
 
≤
 
0
.
b) Bestimme u so, dass gilt: 
P
 
X
 
≥
 
u
 
≈
 
0,1
.

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