Differentialgleichungen, Matheaufgaben

Lösungsüberprüfung bei Differentialgleichungen und beim Ermitteln spezieller Lösungen, Lösen separierbarer Differentialgleichungen - 7 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Trennung der Variablen
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Eine separierbare Differentialgleichung ist eine Art von Differentialgleichung, die in der Form $$ \frac{dy}{dx} = g(x) h(y) $$ geschrieben werden kann, wobei \(g(x)\) eine Funktion von \(x\) und \(h(y)\) eine Funktion von \(y\) ist. Diese Gleichungen können durch Trennung der Variablen gelöst werden, was bedeutet, dass wir die Terme, die von \(y\) abhängen, auf eine Seite der Gleichung und die Terme, die von \(x\) abhängen, auf die andere Seite bringen.

    Beispiel einer separierbaren Differentialgleichung: $$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x) $$
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 3
  • Lösen Sie die separierbare Differentialgleichung (eher einfach)
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: \[y\,'·x=y\] Kreuzen Sie die richtige Lösung an:
     ▉  \(y=Cx~mit ~~~C∈ℝ^+\)
     ▉  \(y=Cx~mit ~~~C∈ℝ\)
     ▉  \(y=Cx^2~mit ~~~C∈ℝ\)
     ▉  \(y=Ce^x~mit ~~~C∈ℝ\)
    Schritt 1 von 3
    Geben Sie die richtige Darstellung nach Separation der Variablen an. Achtung, um die Sache nicht zu leicht zu machen, sind hier eventuell mehrere Antworten möglich!
    \(\int \frac{1}{xy} dy = \int dx\)
    \(\int y dy = \int \frac{1}{x} dx\)
    \(\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1}{x} dx\)
    \(\int \frac{1}{y} dy = \int x dx\)
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wenn du ein Benutzerkonto hast, logge dich bitte zuvor ein.
Lösung
Achtung
Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema
Wie überprüft man, ob eine Funktion eine Lösung einer DGL ist?
#1331
Möchte man die Richtigkeit einer DGL überprüfen, muss man einfach nur die vorgegebene Funktion und ihre Ableitungen in die DGL einsetzen und die Richtigkeit durch algebraische Überlegungen nachweisen. Hat die DGL zwei von 0 verschieden Seiten, empfiehlt es sich, diese hintereinander umzuformen.
Beispiel
Die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung lautet nach Teilen durch m: $$ y\,'' + \frac{D}{m}·y = 0 $$

Zeigen Sie, dass die allgemeine Sinusfunktion eine Lösung ist

Was ist eine separierbare Differentialgleichung und wie wird sie gelöst?
#1332
Eine separierbare Differentialgleichung ist eine Art von Differentialgleichung, die in der Form $$ \frac{dy}{dx} = g(x) h(y) $$ geschrieben werden kann, wobei \(g(x)\) eine Funktion von \(x\) und \(h(y)\) eine Funktion von \(y\) ist. Diese Gleichungen können durch Trennung der Variablen gelöst werden, was bedeutet, dass wir die Terme, die von \(y\) abhängen, auf eine Seite der Gleichung und die Terme, die von \(x\) abhängen, auf die andere Seite bringen.

Beispiel einer separierbaren Differentialgleichung: $$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x) $$
Beispiel
1. Löse die Differentialgleichung durch Trennung der Variablen.

2. Bestimme die allgemeine Lösung.

$$ \frac{dy}{dx} = y(1 - y)= y\,' $$

Mathe-Aufgaben passend zu deinem Lehrplan

Aufgaben für deinen Lehrplan
Wir zeigen dir exakt die Mathe-Übungen, die für deinen Lehrplan bzw. Bundesland vorgesehen sind. Wähle dazu bitte deinen Lehrplan.
Lehrplan wählen