Drehung, Matheübungen

Drehung von Figuren im zweidimensionalen KOSY bei gegebenem Drehzentrum und Drehwinkel; Ermittlung von Zentrum und Drehwinkel bei gegebener Figur und Bildfigur - Lehrplan - 55 Aufgaben in 10 Levels

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    Dreht man den Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn \((\varphi=+90^\circ)\) um das Zentrum \(Z\), so wird er auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) abgebildet. Für die Vektorkoordinaten gilt:

    \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -1\\5 \end{pmatrix}\)

    Dreht man hingegen um \(90^\circ\) mit dem Uhrzeigersinn \((\varphi=-90^\circ)\), so gilt:

    \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} y\\-x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix}\)

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 10
  • Der Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) wird auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) abgebildet. Gib jeweils den Drehwinkel an!
    • \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix},\;\overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)

    \(\varphi=\;\)\(^\circ\)
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Stoff zum Thema (+Video)
Was sind die Eigenschaften einer Drehung und wie wirken sich diese auf Längen und Winkel aus?
#1464
Definition

Bei der Drehung werden Punkte oder Figuren auf Bildpunkte bzw. Bildfiguren abgebildet.

Die Drehung wird festgelegt durch:
1. Das Drehzentrum \(\boldsymbol{Z}\) (der Punkt um den gedreht wird)
2. Das Drehwinkelmaß \(\boldsymbol{\varphi}\)

Ist \(\varphi>0\), so wird gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Für \(\varphi<0\) wird mit dem Uhrzeigersinn gedreht.

Eigenschaften der Drehung

- Punkt und Bildpunkt liegen auf einem Kreis um das Drehzentrum \(Z\).
- Der Drehwinkel \(\varphi\) gibt an wie weit gedreht wird und ob mit oder gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird.
Beispiel 1
Drehe das gegebene Viereck um \(80°\) um das Zentrum \(Z\)!
graphik
Beispiel 2
Überprüfe, ob eine Drehung vorliegen kann. Begründe Deine Entscheidung.

a) \(P\left(0|1\right)\) wird auf \(P'\left(-3|4\right)\) abgebildet. Das Drehzentrum ist \(Z\left(-3|1\right)\).
b) Das Dreieck \(STU\) mit \(S\left(0|1\right),\ T\left(3|1\right)\) und \(U\left(2|3\right)\) wird durch Drehung um \(Z\left(-3|1\right)\) auf \(S'T'U'\) mit \(S'\left(-3|4\right),\ T'\left(-3|7\right)\) und \(U'\left(-6|6\right)\) abgebildet.
c) Der Kreis \(k\) mit dem Mittelpunkt \(M\left(0|3\right)\) und dem Radius \(r=3\ cm\) wird durch Drehung um \(Z\left(-3|1\right)\) auf \(k'\) mit dem Mittelpunkt \(N\left(-5|4\right)\) abgebildet. Die Kreislinie von \(k'\) verläuft durch \(P\left(-5|7{,}5\right)\).
Wie verändern sich die Vektorkoordinaten bei einer Drehung um 180 Grad?
#1478
Bildet man den Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) durch eine Drehung um \(180^\circ\) auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) ab, dann ist \(\overrightarrow{ZA'}\) der Gegenvektor von \(\overrightarrow{ZA}\).
Für die Vektorkoordinaten gilt also: \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}\).
Beispiel
Gegeben sind die Punkte \(Z\left(4|3\right)\) und \(A\left(-2|2\right)\).
Bestimme \(\overrightarrow{ZA}\) sowie \(\overrightarrow{ZA'}\) und \(A'\) bei einer Drehung um \(180^\circ\).
Wie verändern sich die Koordinaten eines Vektors bei einer Drehung um 90°?
#1476

Dreht man den Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn \((\varphi=+90^\circ)\) um das Zentrum \(Z\), so wird er auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) abgebildet. Für die Vektorkoordinaten gilt:

\(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -1\\5 \end{pmatrix}\)

Dreht man hingegen um \(90^\circ\) mit dem Uhrzeigersinn \((\varphi=-90^\circ)\), so gilt:

\(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} y\\-x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix}\)

Beispiel
Gegeben sind die Punkte \(Z\) und \(P\), sowie der Drehwinkel \(\varphi\). Bestimme rechnerisch \(\overrightarrow{ZP}\), \(\overrightarrow{ZP'}\) sowie \(P'\).

\(Z\left(1|2\right),\,P\left(3|4\right),\,\varphi=90^\circ\)