Elementare gebrochen-rationale Funktionen, Matheaufgaben

Definitionslücken und Verhalten der Funktion in deren Umgebung, Erkennen waagrechter und senkrechter Asymptoten, Grafen ohne Wertetabelle skizzieren

Hilfe

  • Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph annähert. Der Graph kommt der Asymptote dabei beliebig nahe, ohne sie zu berühren.

    Oftmals sind Asymptoten senkrecht oder waagrecht verlaufende Geraden. Z.B.:

    • "y = 5" drückt eine waagrechte Gerade durch den Punkt (0|5) aus.
    • "x = 5" drückt eine senkrechte Gerade durch den Punkt (5|0) aus.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Vervollständige die Gleichungen der vorliegenden Asymptoten durch passende (ganzzahlige) Werte. Gib "!" an, wenn eine entsprechende Asymptote GANZ SICHER nicht vorliegt.

  • graphik
    x
    =
    y
    =
    Notizfeld
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Elementare gebrochen-rationale Funktionen
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Elementare gebrochen-rationale Funktionen

Kanal: Mathegym
Was muss bei der Definitionsmenge gebrochen-rationaler Funktionen beachtet werden?
#271
Bei gebrochen-rationalen Funktionen sind die x-Werte auszuschließen ("Definitionslücken"), die zum Wert 0 im Nenner führen.
Was sind die Erkennungsmerkmale von gebrochen-rationalen Funktionen?
#276
Bruchterme, bei denen x im Nenner auftritt, sind das Erkennungsmerkmal von gebrochen-rationalen Funktionen.
Wie beeinflussen die Parameter b und c den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion y=a/(x+b)+c?
#837
Der Parameter b im Term einer elementaren gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/(x+b)+c bewirkt eine Verschiebung entlang der x-Achse, der Parameter c eine Verschiebung entlang der y-Achse (siehe Beispiel).
Beispiel
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
+
b
+
c
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
a
x
 durch
  • Verschiebung um |b| in 
    negative
     x-Richtung, falls b 
    positiv
     ist, bzw.
  • Verschiebung um |b| in 
    positive
     x-Richtung, falls b 
    negativ
     ist,
und durch
  • Verschiebung um |c| in positive y-Richtung, falls c positiv ist, bzw.
  • Verschiebung um |c| in negative y-Richtung, falls c negativ ist.
Die Form der Hyperbel ändert sich dabei nicht, solange der Zähler des Bruchterms gleich bleibt (hier a).
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Was versteht man unter Asymptoten und wie werden sie dargestellt?
#273

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph annähert. Der Graph kommt der Asymptote dabei beliebig nahe, ohne sie zu berühren.

Oftmals sind Asymptoten senkrecht oder waagrecht verlaufende Geraden. Z.B.:

  • "y = 5" drückt eine waagrechte Gerade durch den Punkt (0|5) aus.
  • "x = 5" drückt eine senkrechte Gerade durch den Punkt (5|0) aus.
Beispiel 1
Bestimme alle waagrechten und senkrechten Asymptoten des Graphen und gib ihre Gleichungen an.
graphik
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
6
x
+
2
+
1.
Fülle die Lücken in der Wertetabelle aus und gib die Gleichung der Asymptote an, die man daraus erkennen kann.
x
0
−
1
−
1,9
−
1,97
−
1,994
f(x)
Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion aus ihrem Graphen ab?
#839
Anhand der Asymptoten und mithilfe eines Punkts des Graphen kann man bei elementaren gebrochen-rationalen Funktionen vom Graphen auf den Funktionsterm schließen (siehe Beispiel).
Beispiel
Für elementare gebrochen-rationale Funktionen kann man aus einem gegebenen Graphen auf den zugehörigen Funktionsterm der Form 
f(x)
=
a
x
+
b
+
c
 schließen, indem man …
  • … die senkrechte und die waagrechte Asymptote am Graphen abliest,
  • … damit im Funktionsterm die Werte der Paramter b und c festlegt,
  • … einen Punkt des Graphen abliest und die Koordinaten dieses Punkts in den Funktionsterm einsetzt ("Punktprobe")
  • … und die entstehende Gleichung nach dem Parameter a auflöst, um auch dessen Wert zu bestimmen.
Den gesuchten Funktionsterm erhält man schließlich durch Einsetzen der Werte von a, b und c in den allgemeinen Funktionsterm.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Bestimme den zum Graphen passenden Funktionsterm.
Wie beeinflusst der Parameter a den Graphen der Funktion y=a/x?
#838
Der Parameter a im Term einer gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/x kann eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse bewirken (siehe Beispiel).
Beispiel
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 durch
  • Streckung um den Faktor |a| in y-Richtung und,
  • falls a negativ ist, durch Spiegelung an der x-Achse.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Wie bestimmt man die Schnittpunkte eines Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Koordinatenachsen?
#840
Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion kann die x-Achse und die y-Achse schneiden. Punkte auf der x-Achse haben y-Koordinate 0, Punkte auf der y-Achse haben x-Koordinate 0. Vorgehensweise, um die jeweils fehlende Koordinate zu bestimmen:
  • Schnittpunkt mit der x-Achse: Löse die Gleichung f(x) = 0.
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechne f(0).
Beispiel
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
−
1
x
−
2
+
0,5
 und Definitionsmenge D = ℝ\{2}. Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.

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