Funktionenschar, Mathe-Übungen

Eigenschaften von Funktionsscharen in Abhängigkeit vom Scharparameter - Lehrplan

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Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • Gegeben ist die Schar von Funktionen 
    f
    k
     mit  
    f
    k
     
    x
    =
    e
    2kx
    −
    x
    2
    ,  Definitionsmenge 
    D
    f
     
    =
     
    ℝ
     und 
    k
     
    ∈
     
    ℝ
    . Der Graph von 
    f
    k
     wird mit 
    G
    k
     bezeichnet.
    a) Gib die Anzahl der Nullstellen und das Verhalten von 
    f
    k
     für x→±∞ an.
    b) Untersuche die Funktionen der Schar in Abhängigkeit von k auf Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems.
    c) Bestimme Lage und Art aller Extrempunkte von 
    G
    k
     in Abhängigkeit von k.
    d) Weise nach, dass alle Graphen der Funktionenschar genau einen Punkt gemeinsam haben, und ermittle die Gleichung der Tangente an 
    G
    k
     in diesem Punkt in Abhängigkeit von k.
    e) Bestimme alle Werte für 
    k
     
    ∈
     
    ℝ
     so, dass 
    f
    k
     die Wertemenge ]0;e] besitzt, und zeichne die Graphen der zugehörigen Scharfunktionen unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.
    Schritt 1/11
    Zu a)
    Anzahl der Nullstellen:
    l i m
    x→±∞
     
    f
     
    x
    =
    Hinweis: klicke das Tastatur-Symbol an, um ∞ eingeben zu können.
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen
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Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen

Kanal: Mathegym

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel 1
Beschreibe die Funktionenscharen f
b
x
=
x
+
b und g
a
x
=
ax
2
Beispiel 2
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
−
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)
Zu jedem Einzelgraphen einer Funktionenschar fk lässt sich der passende Parameterwert von k ermitteln, indem man einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt und diese nach k auflöst.
Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
2x
+
1
Bestimme die Gleichung für die Schar der Tangenten 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt (a|f(a)).
graphik

Eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wird als Ortskurve bezeichnet.

Sind die Koordinaten der betrachteten Punkte (z.B. Hoch- oder Tiefpunkte) in Abhängigkeit von einem Parameter a gegeben, erhält man die Gleichung der Ortskurve in zwei Schritten:

  • Auflösen der x-Koordinatengleichung nach a
  • Einsetzen in die y-Koordinatengleichung
Beispiel
Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte der Funktionenscharen
f
a
x
=
x
2
+
a und
g
a
x
=
x
2
−
ax
+
1
4
 
a
2
+
1
4
 
a
Beispiel
Gegeben ist die Schar von Funktionen 
f
k
 mit  
f
k
 
x
=
x
·
e
1
−
x
k
,  Definitionsmenge 
D
f
 
=
 
ℝ
 und 
k
 
∈
 
ℝ
+
. Der Graph von 
f
k
 wird mit 
G
k
 bezeichnet.
a) Gib die Nullstellen und das Verhalten von 
f
k
 für x→±∞ an.
b) Bestimme Lage und Art des Extrempunkts von 
G
k
 in Abhängigkeit von k.
c) Begründe, dass die Extrempunkte aller Graphen der Schar auf einer Halbgerade liegen, und beschreibe die Lage dieser Halbgerade im Koordinatensystem.
d) Weise nach, dass alle Graphen der Funktionenschar im Ursprung die gleiche Tangente besitzen, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.
e) Bestimme den Wert für 
k
 so, dass 
G
k
 durch den Punkt 
6
 
|
 
6
e
2
 verläuft, und zeichne den Graphen der zugehörigen Scharfunktion unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.