Funktionsuntersuchung - ganzrationale Funktionen, Matheübungen

Untersuchung auf Symmetrie zum KOSY, Nullstellen, Verhalten für große |x|, Extrema, Wendepunkte - 11 Aufgaben in 4 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 4
  • Löse die Fragestellung im Sachzusammenhang.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • graphik
    Eine Autofahrerin möchte nicht hinter einem langsamen Traktor herfahren, beschleunigt daher ihren PKW, überholt den Traktor und ordnet sich vor dem Traktor wieder mit etwas gemäßigterer Geschwindigkeit ein. Dieser Vorgang wird durch die in 
    [0; 10]
     definierte Funktion f mit 
    f
     
    x
    =
    −
    1
    6
     
    x
    3
    +
    3
     
    x
    2
    +
    14
     
    x
     modelliert, deren Graph oben abgebildet ist. Dabei entspricht x der Zeit in Sekunden und 
    f
     
    x
     der zurückgelegten Strecke in Metern seit Beginn des Überholmanövers.
    Ermittle die Geschwindigkeiten zu Beginn bzw. am Ende des Überholmanövers, sowie die maximale Geschwindigkeit der Autofahrerin bei diesem Vorgang in Metern pro Sekunde. Hinweis: Die Geschwindigkeit eines Körpers entspricht der Änderungsrate der zurückgelegten Strecke.
    Geschwindigkeit zu Beginn: 
     ▉ 
     
    m
    s
    Maximale Geschwindigkeit: 
     ▉ 
     
    m
    s
    Geschwindigkeit am Ende: 
     ▉ 
     
    m
    s
    Schritt 1 von 4
    Ermittle die erste und die zweite Ableitung von f. (Fülle die Eingabefelder von unnötigen Termen mit "0" aus.)
    f
     
    ´
     
    x
    =
     
    x
    2
    +
     
    x
    +
    f
     
    ´´
     
    x
    =
     
    x
    2
    +
     
    x
    +
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Beispiel 1
Gegeben ist die in ganz ℝ definierte Polynomfunktion mit der Funktionsgleichung 
f
 
x
=
x
+
2
 
x
2
+
2x
−
15
.
Untersuche auf/ermittle:
  • Nullstellen
  • Schnittpunkt mit der y-Achse
  • Symmetrie zum KOSY
  • Verhalten im Unendlichen
  • relative Extrempunkte einschl. Art
  • Wendepunkte
Zeichne schließlich den Graphen von f unter Einbezug aller Teilergebnisse.
Beispiel 2
f
 
x
=
x
3
−
x
2
−
5x
−
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.