Funktionsuntersuchung - Verknüpfungen mit der Wurzelfunktion, Matheübungen

Kurvendiskussion von Funktionen, bei denen die Wurzelfunktion mit einer weiteren Funktion verknüpft ist

Hilfe
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Untersuche die Funktion, um deren Graphen möglichst genau zeichnen zu können. Löse Schritt für Schritt.

  • Gegeben ist die Funktion f mit dem Term 
    f
     
    x
    =
    x
    ·
    8
    −
    x
    2
    .
    a) Bestimme die maximale Definitionsmenge von f.
    b) Untersuche, ob der Graph von f eine Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems aufweist.
    c) Ermittle einen Term der Ableitungsfunktion von f.
    d) Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Ursprung.
    d) Bestimme Lage und Art der Extrempunkte.
    e) Zeichne die Tangente aus d) und den Graphen von f und gib die Wertemenge von f an.
    Schritt 1/7
    Zu a)
    D = [
    8
    ; +∞[.
    D = ]-∞; 
    8
    ].
    D = [
    −
    8
    ; 
    8
    ].
    D = ]-∞; 
    −
    8
    ] ∪ [
    8
    ; +∞[.
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Welche Termbestandteile einer zusammengesetzten Funktion beeinflussen die Definitionsmenge und welche Beschränkungen gelten?
#1257
Bei der Bestimmung der Definitionsmenge einer zusammengesetzten Funktion muss man auf folgende Termbestandteile achten:
  • Wurzelterme
Der Radikand (das "Innere") eines Wurzelausdrucks muss immer mindestens 0 sein.
  • Bruchterme
Der Nenner eines Bruchterms darf nie gleich 0 sein.
  • Logarithmusterme
Das Argument (das "Innere") eines Logarithmus' muss immer positiv sein.
Beispiel
Gib jeweils die maximale Definitionsmenge der folgenden Funktionsterme an.
a) 
f
 
x
=
x
2
−
x
−
6
b) 
g
 
x
=
x
+
3
x
−
1
Was ist ein Randextremum und bei welchem Funktionstyp tritt es auf?
#1258
Besitzt eine Funktion mit Wurzelterm eine Definitionsmenge, die an einer bestimmten Stelle beginnt oder endet, liegt dort immer ein so genanntes Randextremum vor. Der zugehörige Graph besitzt dort einen Extrempunkt, an dem die zugehörige Tangente nicht unbedingt waagrecht verlaufen muss. Die Art des Extremums kann z.B. anhand des Vorzeichens der Ableitung in der Umgebung bestimmt werden.
Beispiel
Bestimme alle Extrempunkte des Graphen der Funktion 
f
 
x
=
2x
−
5
+
3
.
Beispiel
f
 
x
=
x
2
 
3x
+
5
Bestimme die maximale Definitionsmenge, Nullstellen, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Monotonieverhalten, Hoch- und Tiefpunkte sowie die Gleichung der Tangente an 
G
f
 an der Stelle 
x
=
−
1
3
.

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