Ganzrationale Funktionen - Nullstellen ablesen, Mathe-Übungen

Nullstellen und ihre Vielfachheit aus dem Funktionsterm ablesen und graphisch interpretieren - Lehrplan G9 (5.-11. Klasse)

Hilfe
  • Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Löse die Gleichung. Gib die Lösungen samt ihrer Vielfachheit der Größe nach ein (Brüche in der Form a/b). Die kleinste zuerst. Falls die Gleichung weniger als drei Lösungen hat, gib jeweils ! in der letzten Zeile ein.

  • x
    −
    1
    ·
    x
    −
    1
    ·
    x
    +
    2
    ·
    x
    −
    2
    =
    0
    x
    1
    =
     (kleinste Lösung) mit Vielfachheit
    x
    2
    =
     mit Vielfachheit
    x
    3
    =
     mit Vielfachheit
    Notizfeld
    Notizfeld
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Ganzrationale Funktionen (Teil 2)
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Ganzrationale Funktionen (Teil 2)

Kanal: Mathegym
Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ein Produkt von zwei Zahlen ist genau dann null, wenn (mindetens) ein Faktor null ist.

In formalerer Schreibweise: Aus a·b = 0 folgt a = 0 und/oder b = 0 und umgekehrt.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x − 1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x − 1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
−
1
·
3x
−
5
2
=
0
Jede Nullstelle einer ganzrationalen Funktion besitzt eine bestimmte Vielfachheit.

Ist a eine Nullstelle, so kann f(x) als Produkt mit Faktor x − a geschrieben werden. Kommt x − a genau n mal als Faktor vor (also "hoch n"), so nennt man a eine n-fache Nullstelle.

Beispiel
Bestimme jeweils die Nullstellen und ihre Vielfachheiten:
f(x)
=
x
−
1
2
·
x
+
2
g(x)
=
x
2
+
1
·
x
2
−
4
h(x)
=
x
−
5
2
+
2
Die Vielfachheit einer Nullstelle wirkt sich auf das Verhalten des Graphen wie folgt aus
  • ungerade Vielfachheit (also einfach, dreifach, fünffach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle schneidet ("Nullstelle mit Vorzeichenwechsel").
  • gerade Vielfachheit (also doppelt, vierfach, sechsfach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle berührt ("Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel").