Ganzrationale Funktionen - Nullstellen ablesen, Matheübungen

Nullstellen und ihre Vielfachheit aus dem Funktionsterm ablesen und graphisch interpretieren

Hilfe
  • Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Löse die Gleichung. Gib die Lösungen samt ihrer Vielfachheit der Größe nach ein (Brüche in der Form a/b). Die kleinste zuerst. Falls die Gleichung weniger als drei Lösungen hat, gib jeweils ! in der letzten Zeile ein.

  • x
    −
    1
    ·
    x
    −
    1
    ·
    x
    +
    2
    ·
    x
    −
    2
    =
    0
    x
    1
    =
     (kleinste Lösung) mit Vielfachheit
    x
    2
    =
     mit Vielfachheit
    x
    3
    =
     mit Vielfachheit
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    Notizfeld
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Ganzrationale Funktionen (Teil 2)
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Ganzrationale Funktionen (Teil 2)

Kanal: Mathegym
Was besagt der Satz vom Nullprodukt und was sind Vielfachheiten von Lösungen?
#693
Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ein Produkt von zwei Zahlen ist genau dann null, wenn (mindetens) ein Faktor null ist.

In formalerer Schreibweise: Aus a·b = 0 folgt a = 0 und/oder b = 0 und umgekehrt.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x − 1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x − 1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
−
1
·
3x
−
5
2
=
0
Wie beeinflusst die Vielfachheit einer Nullstelle das Verhalten des Graphen?
#316
Die Vielfachheit einer Nullstelle wirkt sich auf das Verhalten des Graphen wie folgt aus
  • ungerade Vielfachheit (also einfach, dreifach, fünffach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle schneidet ("Nullstelle mit Vorzeichenwechsel").
  • gerade Vielfachheit (also doppelt, vierfach, sechsfach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle berührt ("Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel").
Was versteht man unter der Vielfachheit einer Nullstelle?
#315
Jede Nullstelle einer ganzrationalen Funktion besitzt eine bestimmte Vielfachheit.

Ist a eine Nullstelle, so kann f(x) als Produkt mit Faktor x − a geschrieben werden. Kommt x − a genau n mal als Faktor vor (also "hoch n"), so nennt man a eine n-fache Nullstelle.

Beispiel
Bestimme jeweils die Nullstellen und ihre Vielfachheiten:
f(x)
=
x
−
1
2
·
x
+
2
g(x)
=
x
2
+
1
·
x
2
−
4
h(x)
=
x
−
5
2
+
2

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