Gauß-Algorithmus, Matheübungen

Lineare 3x3-Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß-Verfahrens lösen

Löse mit dem Gauß-Algorithmus

  • 3x
    2x
    5x
     
    −
    +
    +
     
    2y
     y
     y
     
    +
    −
    +
     
    4z
    3z
    2z
     
    =
    =
    =
     
    3
    3
    1
    x
    =
    ;
    y
    =
    ;
    z
    =
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Wie funktioniert das Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme?
#728

Gauß-Verfahren

Ein lineares Gleichungssystem kann übersichtlich gelöst werden, indem man es zunächst auf Stufenform bringt. Dies bezeichnet man als Gauß-Verfahren.

Dabei sind folgende Umformungen zugelassen:

  • Zwei Gleichungen werden miteinander vertauscht.
  • Eine Gleichung wird mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert.
  • Eine Gleichung wird durch die Summe/Differenz von ihr und einer anderen Gleichung des Systems ersetzt.

Wenn man etwas Übung hat, können auch mehrere dieser Schritte gleichzeitig durchgeführt werden.

Wenn man das lineare Gleichungssystem auf Stufenform gebracht hat, löst man die Gleichungen schrittweise nach den gegebenen Variablen auf.

Es ist ganz wichtig, dass du das Gauß-Verfahren verstehst, damit du beim Lösen von Gleichungssystemen mit dem GTR in der Lage bist, die Taschenrechner-Anzeige korrekt interpretieren zu können.

Beispiel 1
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren:
2x
1
 
 
4x
1
 
−
3x
2
+
2x
2
+
2x
2
 
−
x
3
+
3x
3
+
3x
3
 
=
1
 
=
1
 
=
6
 
x
1
=
?
x
2
=
?
x
3
=
?
Beispiel 2
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem GTR:
2x
1
 
 
4x
1
 
−
3x
2
+
2x
2
+
2x
2
 
−
x
3
+
3x
3
+
3x
3
 
 
 
=
1
 
 
=
1
 
 
=
6
 
x
1
=
?
x
2
=
?
x
3
=
?
Wie erkennt man die Lösungsmengen eines Gleichungssystems in Stufenform oder mit dem GTR?
#732

Lösungsmengen von Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem kann unterschiedliche Lösungsmengen besitzen:

Das Gleichungssystem hat...

  • genau eine Lösung: Bei der Umformung in Stufenform bleiben alle Variablen erhalten bzw. bei der Lösung mit dem GTR entsteht am Display bis auf die letzte Spalte eine Einheitsmatrix (Diagonaleinträge 1, restliche Einträge 0), in der letzten Spalte steht die Lösung des Gleichungssystems.
  • keine Lösung: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich irgendwann ein Widerspruch (0x3=1) bzw. am Display des GTR erscheinen in der untersten Zeile nur Nullen BIS AUF DEN LETZTEN Eintrag, der von Null verschieden ist.
  • unendlich viele Lösungen: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich eine allgemein gültige Gleichung (0x3=0) bzw. am Display des GTR sind ALLE Einträge der untersten Zeile gleich Null.
Beispiel 1
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme mit dem GTR:
+
5x
1
+
5x
1
−
10x
1
 
−
x
2
+
x
2
+
2x
2
 
+
4x
3
+
x
3
−
8x
3
 
 
 
 
=
5
 
 
=
11
 
 
=
−
8
 
          
 
2x
1
4x
1
 
 
 
−
5x
2
−
9x
2
−
2x
2
 
+
2x
3
 
 
+
8x
3
 
 
 
=
7
 
 
=
15
 
 
=
−
2
 
Beispiel 2
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme mit dem Gaußverfahren:
5x
1
5x
1
−
10x
1
 
−
x
2
+
x
2
+
2x
2
 
+
4x
3
+
x
3
−
8x
3
 
=
5
 
 
 
=
11
 
 
 
=
−
8
 
 
 
 
          
 
2x
1
4x
1
 
 
 
−
5x
2
−
9x
2
−
2x
2
 
+
2x
3
 
 
+
8x
3
 
=
7
 
 
 
=
15
 
 
 
=
−
2
 
 
 

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