Geometrie - Vektoren und Körper im Raum, Matheübungen

- Basisaufgaben zur Wiederholung G9 - 65 Aufgaben in 13 Levels

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    Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Hat der erste Faktor die Koordinaten a1, a2 und a3 und der zweite die Koordinaten b1, b2 und b3, so ergeben sich die Koordinaten des Kreuzprodukts nach folgender Rechenvorschrift:

    a2b3 − a3b2

    a3b1 − a1b3

    a1b2 − a2b1

  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 12
  • Berechne. Brüche in der Form "a/b" bzw. "-a/b" eingeben.
    • 2
    −
    0,5
    6
     
    ×
     
    −
    1
    3
    5,5
    =
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Stoff zum Thema
Wie bestimmt man den Oktanten eines Punktes im 3D-Koordinatensystem?
#1480

Ein Punkt \( P(p_1 \mid p_2 \mid p_3) \) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt

  • im I. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im II. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im III. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im IV. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im V. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 < 0 \)
  • im VI. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 < 0 \)
  • im VII. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 < 0 \)
  • im VIII. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 < 0 \text{.}\)
Beispiel
Gib an, in welchem Oktant der Punkt \( P(-1|-2|-5) \) liegt.
Wie erkennt man die Lage eines Punktes P(p1 | p2 | p3) bezüglich der Achsen und Ebenen im Koordinatensystem?
#442
Ein Punkt P(p1 | p2 | p3) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
  • auf der x1-Achse, wenn p2 = p3 = 0
  • auf der x2-Achse, wenn p1 = p3 = 0
  • auf der x3-Achse, wenn p1 = p2 = 0
  • in der x1x2-Ebene, wenn p3 = 0
  • in der x1x3-Ebene, wenn p2 = 0
  • in der x2x3-Ebene, wenn p1 = 0
Punkte auf der x1-Achse liegen erst recht in der x1x2-Ebene und in der x1x3-Ebene. Für Punkte auf der x2-Achse und auf der x3-Achse gilt dies analog.
Wie lauten die Koordinaten der Spiegelpunkte von P(p1 | p2 | p3) an den Achsen und Ebenen des Koordinatensystems?
#443
Spiegelung von P(p1 | p2 | p3) an der...
  • x1-Achse ⇒ P ´ (p1 | −p2 | −p3)
  • x2-Achse ⇒ P ´ (−p1 | p2 | −p3)
  • x3-Achse ⇒ P ´ (−p1 | −p2 | p3)
  • der x1x2-Ebene ⇒ P ´ (p1 | p2 | −p3)
  • der x1x3-Ebene ⇒ P ´ (p1 | −p2 | p3)
  • der x2x3-Ebene ⇒ P ´ (−p1 | p2 | p3)
Wie berechnet man die Koordinaten eines Vektors von Punkt A nach Punkt B?
#444
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also

b1 − a1
b2 − a2
b3 − a3

Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Was ist eine Linearkombination von Vektoren?
#445
Eine Summe von mehreren Vektoren bzw. von deren Vielfachen nennt man Linearkombination. Dabei werden die Pfeile nach dem Prinzip "Fuß an Spitze" aneinander gekettet. Bei "−" wird der Gegenvektor (Spitze und Fuß vertauscht) addiert.
Beispiel
graphik
Drücke 
AD
 als Linearkombination der Vektoren 
AB
,
 
AC
,
 
BS
,
 
DS
 und 
MS
 aus. Gib mehrere Lösungen an.
Wie erhält man einen Vektor gleicher Richtung, aber anderer Länge?
#1481

Wenn man zu einem gegebenen Vektor \( \vec{v}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) einen Vektor mit gleicher Richtung aber anderer Länge bestimmen möchte, geht man wie folgt vor:

Zuerst bestimmt man den Einheitsvektor des gegebenen Vektors. Er hat die Länge \(1\) und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor. Es gilt:

\[ \vec{v_0} = \frac{1}{|\vec{v}|}\cdot \vec{v} \text{ mit } |\vec{v}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \]

Soll der neue Vektor die Länge \(k\) besitzen, multipliziert man den Einheitsvektor mit \(k\):

\[ \vec{v_{neu}} = k \cdot \vec{v_0} \]

Der Vektor \( \vec{v_{neu}} \) hat damit dieselbe Richtung wie \( \vec{v} \), aber die gewünschte Länge \(k\).

Beispiel

Bestimme den Vektor, der dieselbe Richtung wie der angegebene Vektor und die vorgegebene Länge hat:

\[ \vec{r} = \begin{pmatrix} -8\\0\\6 \end{pmatrix} \text{,}\qquad \text{Länge: }3 \]

Wie kann man feststellen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind?
#617
Zwei Vektoren (jeweils ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Beispiel
Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A(0|9|-1), B(-2|-5|3) und C(-2|-3|1). Prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
#618
Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:

cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen

Beispiel
v
=
1
−
3
4
 
     
 
w
=
0
7
−
8
 
     
 
∠
 
v
 
,
 
w
 
≈
 
?
 
°
Wie berechnet man die Koordinaten des Produktvektors beim Vektorprodukt zweier Vektoren?
#619
Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Hat der erste Faktor die Koordinaten a1, a2 und a3 und der zweite die Koordinaten b1, b2 und b3, so ergeben sich die Koordinaten des Kreuzprodukts nach folgender Rechenvorschrift:

a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

Beispiel
−
1
−
4
5
 
×
 
7
2
−
3
=
?
Wie ist die Lage des Vektorprodukts zweier Vektoren relativ zu diesen?
#621
Das Vektorprodukt zweier Vektoren steht zu diesen beiden senkrecht.
Beispiel
Gegeben sind die Vektoren
 
a
=
1
−
2
3
 
und
 
b
=
−
3
−
1
2
 
.
Bestimme jeweils einen Vektor
 
v
 
, der zu diesen beiden senkrecht steht und
(a) die Länge 3 besitzt.
(b) dessen dritte Koordinate den Wert 1 besitzt.