4.6 Graph und Funktionsterm - Teil 1, Matheübungen

- G8 Lehrwerk Lambacher Schweizer - 48 Aufgaben in 11 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Der Parameter \(b\) im Term einer elementaren gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung \(y=\frac{a}{x+b}+c\) bewirkt eine Verschiebung in \(x\text{-Richtung}\), der Parameter \(c\) eine Verschiebung in \(y\text{-Richtung}\) (siehe Beispiel).

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 3
  • Beschreibe, wie der Graph von \(f\) aus dem Graphen von \(g\) entsteht.
  • Zwischen­schritte aktivieren

    • \(f(x)= \frac{1}{x+2}+1\)

    \(g(x)= \frac{1}{x+4}+5\)

    Der Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(g\text{,}\) indem dieser um in die \(x\text{-}\)Richtung und um in die \(y\text{-}\)Richtung verschoben wird.

Beispiel
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie bewirkt man durch Änderung des Funktionsterms eine Spiegelung an der x-Achse oder y-Achse sowie eine Verschiebung in y-Richtung?
#697

Regeln zur Transformation von Graphen

Der Graf einer Funktion f wird
  • ... an der x-Achse gespiegelt: Minus vor den Term, d.h. g(x) = - f(x)
  • ... an der y-Achse gespiegelt : x durch (-x) ersetzen, d.h. g(x) = f(-x)
  • ... um b in y-Richtung verschoben: b zum Term addieren, d.h. g(x) = f(x) +b
Wie beeinflussen die Parameter b und c den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion y=a/(x+b)+c?
#837

Der Parameter \(b\) im Term einer elementaren gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung \(y=\frac{a}{x+b}+c\) bewirkt eine Verschiebung in \(x\text{-Richtung}\), der Parameter \(c\) eine Verschiebung in \(y\text{-Richtung}\) (siehe Beispiel).

Beispiel 1

Beschreibe, wie der Graph von \(f\) aus dem Graphen von \(g\) entsteht:

\(f(x)=\frac{1}{x+1}+3\)

\(g(x)=\frac{1}{x-3}-1\)

Beispiel 2
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
+
b
+
c
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
a
x
 durch
  • Verschiebung um |b| in 
    negative
     x-Richtung, falls b 
    positiv
     ist, bzw.
  • Verschiebung um |b| in 
    positive
     x-Richtung, falls b 
    negativ
     ist,
und durch
  • Verschiebung um |c| in positive y-Richtung, falls c positiv ist, bzw.
  • Verschiebung um |c| in negative y-Richtung, falls c negativ ist.
Die Form der Hyperbel ändert sich dabei nicht, solange der Zähler des Bruchterms gleich bleibt (hier a).
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Beispiel
Untersuche die folgende rationale Funktion hinsichtlich evtl. Defintionslücken, Polstellen, Nullstellen sowie Asymptoten und skizziere anhand der gewonnenen Informationen den Graph.
f(x)
=
2x
3
−
8x
6x
2
−
3x
3
Was sind die wesentlichen Aspekte einer vollständigen Funktionsuntersuchung?
#481
Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen (Kurvendiskussion):
  • maximale Definitionsmenge
  • Punkt- und Achsensymmetrie
  • Schnittpunkte mit x- und y-Achse
  • Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs/Asymptoten
  • relative Extremwerte/Monotonieverhalten
  • Wendepunkte/Krümmungsverhalten
Beispiel
Untersuche die Funktion f hinsichtlich max. Derfinitionsmenge, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, relative Hoch- und Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Skizziere den Graphen und gib die Wertemenge an.
a)
    
f
 
x
=
x
2
+
2x
+
1
x
+
3
b)
    
f
 
x
=
0,5x
−
3
+
2
x
−
1
Hinweis: b) ohne Wendpunkt, Krümmung und Wertemenge
Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion mit Zähler- und Nennergrad höchstens 2 aus ihrem Graphen ab?
#1484

Die Nullstellen des Graphen sind die Nullstellen des Zählers des Funktionsterms.

Die Polstellen des Graphen sind die Nullstellen des Nenners des Funktionsterms. Wenn die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, ist der Nennergrad gerade, bei einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist er ungerade.

Wenn der Graph die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote hat, gilt: Zählergrad < Nennergrad.

Wenn der Graph eine waagrechte Asymptote hat, die nicht die \(x\)-Achse ist, dann gilt Zählergrad = Nennergrad. Außerdem kann man aus der Gleichung der Asymptoten die Leitkoeffizienten ablesen: \(y=\frac{a}{b} \Rightarrow f(x)=\frac{a(x - x_1)(x - x_2)}{b(x - p_1)(x - p_2)}\)

Beispiel

Bestimme einen möglichen Term zum Graphen. Zähler- und Nennergrad sind höchstens \(2\).

Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion aus ihrem Graphen ab?
#839
Anhand der Asymptoten und mithilfe eines Punkts des Graphen kann man bei elementaren gebrochen-rationalen Funktionen vom Graphen auf den Funktionsterm schließen (siehe Beispiel).
Beispiel
Für elementare gebrochen-rationale Funktionen kann man aus einem gegebenen Graphen auf den zugehörigen Funktionsterm der Form 
f(x)
=
a
x
+
b
+
c
 schließen, indem man …
  • … die senkrechte und die waagrechte Asymptote am Graphen abliest,
  • … damit im Funktionsterm die Werte der Paramter b und c festlegt,
  • … einen Punkt des Graphen abliest und die Koordinaten dieses Punkts in den Funktionsterm einsetzt ("Punktprobe")
  • … und die entstehende Gleichung nach dem Parameter a auflöst, um auch dessen Wert zu bestimmen.
Den gesuchten Funktionsterm erhält man schließlich durch Einsetzen der Werte von a, b und c in den allgemeinen Funktionsterm.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Bestimme den zum Graphen passenden Funktionsterm.
Wie beeinflusst der Parameter a den Graphen der Funktion y=a/x?
#838
Der Parameter a im Term einer gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/x kann eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse bewirken (siehe Beispiel).
Beispiel
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 durch
  • Streckung um den Faktor |a| in y-Richtung und,
  • falls a negativ ist, durch Spiegelung an der x-Achse.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Wie lautet die Gleichung der Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a e^(kx) + b?
#704
Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a ekx+b
  • Die Gleichung der Asymptote lautet y = b.
  • Wenn k positiv ist, schmiegt sich der Graph von f nach links an die Asymptote.
  • Wenn k negativ ist, schmiegt sich der Graph von f nach rechts an die Asymptote.