Graphen verschieben, spiegeln und strecken, Matheaufgaben

Veränderungen des Funktionsterms und Auswirkungen auf den Funktionsgraphen

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TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Wie entsteht der Graph von h aus dem Graphen von f? Kreuze richtig an.

h

x

=

−
f

x
+
2

−
f

x
−
2

f

x
−
2

−
2

f

x
+
2

−
2

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Funktionsgraphen verschieben

Kanal: Mathegym

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Funktionsgraphen strecken und stauchen

Kanal: Mathegym

Wie kann eine Funktion f(x) abgewandelt werden, um ihren Graphen G_f zu strecken, stauchen, verschieben oder zu spiegeln?

#488

h ( x ) =	G_h geht aus G_f hervor durch
f ( x + a )	Verschiebung um \|a\| Einheiten nach rechts (a < 0) bzw. links (a > 0)
f ( x ) + a	Verschiebung um \|a\| Einheiten nach oben (a > 0) bzw. unten (a < 0)
a · f ( x ), a > 0	Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (a < 1) in y-Richtung
− f ( x )	Spiegelung an der x-Achse
f ( a · x ), a > 0	Streckung mit Faktor 1/a in x-Richtung
f ( −x )	Spiegelung an der y-Achse

Beispiel 1

Wie entsteht der Graph von h aus dem Graphen von f? Gib einen passenden Term für h an.

Beispiel 2

−

1,5

−

Welche Verschiebung(en)/Streckung(en)/Spiegelung(en) sind am Graphen von f durchzuführen, um den Graphen von h zu erhalten?

Beispiel 3

−

1,5

−

Welche Verschiebung(en)/Streckung(en)/Spiegelung(en) sind am Graphen von f durchzuführen, um den Graphen von h zu erhalten?

Wie bewirkt man eine Spiegelung des Graphen einer Funktion an der x- oder y-Achse?

#668

Sei G_f der Graph einer Funktion f.

−f(x)
bewirkt eine Spiegelung von G_f an der x-Achse, d.h. man multipliziert dazu den gesamten Funktionsterm mit −1.
f(−x)
bewirkt eine Spiegelung von von G_f an der y-Achse, d.h. man ersetzt jede x-Variable im Term durch (−x).

Beispiel

−

Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph gegenüber G_f an der x-Achse bzw. an der y-Achse gespiegel ist?

Wie bewirkt eine Veränderung des Funktionsterms f(x) eine Verschiebung des Graphen?

#667

Sei G_f der Graph einer Funktion f und c > 0.

f(x) ± c
bewirkt eine Verschiebung von G_f um c LE nach oben bzw. unten.
f(x ± c)
bewirkt eine Verschiebung von G_f um c Einheiten nach links bzw. rechts. Man ersetzt also alle x-Variablen im Term durch (x + c) bzw. durch (x − c).

Beispiel

Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph

gegenüber G_f um eine Einheit nach rechts verschoben ist?
gegenüber G_f um eine Einheit nach unten verschoben ist?

Was muss beachtet werden, wenn ein Funktionsgraph in dieselbe Richtung gestreckt und verschoben wird?

#1053

Wird der Graph einer Funktion in dieselbe Richtung gestreckt und verschoben, so ist die Reihenfolge der beiden Operationen für das Ergebnis entscheidend. Praktisch bedeutet das, eine geeignete Klammer zu setzen, wenn zuerst die Verschiebung erfolgt.

Beispiel

−

soll mit Faktor

in y-Richtung gestreckt und um 3 LE nach oben verschoben werden.

a) Wie lautet der zugehörige Funktionsterm, wenn zuerst die Streckung, dann die Verschiebung erfolgt?

b) …bei umgekehrter Reihenfolge?

Beispiel

−

G_f wird nun an der x-Achse gespiegelt, in y-Richtung mit Faktor 1/2 gestaucht und um 1 Einheit nach links verschoben. Gib den zugehörigen Funktionsterm vereinfacht an.

Wie beeinflusst die Veränderung des Funktionsterms f(x) die Streckung/Stauchung des Graphen?

#1052

Sei G_f der Graph einer Funktion f und a > 0.

a·f(x)
bewirkt eine Streckung von G_f in y-Richtung mit dem Faktor a. Eine echte Streckung liegt im Fall a > 1 vor, im Fall 0 < a < 1 erhält man eine Stauchung.
f(a·x)
bewirkt eine Streckung von G_f in x-Richtung mit dem Faktor 1/a. Eine echte Streckung liegt im Fall 0 < a < 1 vor, im Fall a > 1 handelt es sich um eine Stauchung.