Graphen verschieben, spiegeln und strecken, Matheaufgaben

Veränderungen des Funktionsterms und Auswirkungen auf den Funktionsgraphen

Wie entsteht der Graph von h aus dem Graphen von f?

  • f
     
    x
    =
    sin
    x
    −
    1
    −
    1
    h
     
    x
    =
    sin
    2x
    +
    1
    Verschiebung um
     
     
    nach
     
    und um
     
     
    nach
     
     
    ,
    dann
     
     
    in
     
    -Richtung
    mit Streckungsfaktor
     
    .
    Notizfeld
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Funktionsgraphen strecken und stauchen
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Wie kann eine Funktion f(x) abgewandelt werden, um ihren Graphen Gf zu strecken, stauchen, verschieben oder zu spiegeln?
#488
h ( x ) = Gh geht aus Gf hervor durch
f ( x + a ) Verschiebung um |a| Einheiten nach rechts (a < 0) bzw. links (a > 0)
f ( x ) + a Verschiebung um |a| Einheiten nach oben (a > 0) bzw. unten (a < 0)
a · f ( x ), a > 0 Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (a < 1) in y-Richtung
− f ( x ) Spiegelung an der x-Achse
f ( a · x ), a > 0 Streckung mit Faktor 1/a in x-Richtung
f ( −x ) Spiegelung an der y-Achse
Beispiel 1
Wie entsteht der Graph von h aus dem Graphen von f? Gib einen passenden Term für h an.
graphik
Beispiel 2
f
 
x
=
1
3
·
x
2
−
1,5
h
 
x
=
x
−
3
2
+
1
Welche Verschiebung(en)/Streckung(en)/Spiegelung(en) sind am Graphen von f durchzuführen, um den Graphen von h zu erhalten?
Beispiel 3
f
 
x
=
1
3
·
2
x
−
1,5
h
 
x
=
2
x
−
3
+
1
Welche Verschiebung(en)/Streckung(en)/Spiegelung(en) sind am Graphen von f durchzuführen, um den Graphen von h zu erhalten?
Wie bewirkt man eine Spiegelung des Graphen einer Funktion an der x- oder y-Achse?
#668
Sei Gf der Graph einer Funktion f.
  • −f(x)
    bewirkt eine Spiegelung von Gf an der x-Achse, d.h. man multipliziert dazu den gesamten Funktionsterm mit −1.
  • f(−x)
    bewirkt eine Spiegelung von von Gf an der y-Achse, d.h. man ersetzt jede x-Variable im Term durch (−x).
Beispiel
f
 
x
=
1
−
3x
2
2x
+
1
Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph gegenüber Gf an der x-Achse bzw. an der y-Achse gespiegel ist?
Wie bewirkt eine Veränderung des Funktionsterms f(x) eine Verschiebung des Graphen?
#667
Sei Gf der Graph einer Funktion f und c > 0.
  • f(x) ± c
    bewirkt eine Verschiebung von Gf um c LE nach oben bzw. unten.
  • f(x ± c)
    bewirkt eine Verschiebung von Gf um c Einheiten nach links bzw. rechts. Man ersetzt also alle x-Variablen im Term durch (x + c) bzw. durch (x − c).
Beispiel
f
 
x
=
3x
2x
+
1
Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph
  • gegenüber Gf um eine Einheit nach rechts verschoben ist?
  • gegenüber Gf um eine Einheit nach unten verschoben ist?
Was muss beachtet werden, wenn ein Funktionsgraph in dieselbe Richtung gestreckt und verschoben wird?
#1053
Wird der Graph einer Funktion in dieselbe Richtung gestreckt und verschoben, so ist die Reihenfolge der beiden Operationen für das Ergebnis entscheidend. Praktisch bedeutet das, eine geeignete Klammer zu setzen, wenn zuerst die Verschiebung erfolgt.
Beispiel
f
 
x
=
2
x
−
5
G
f
 soll mit Faktor 
1
3
 in y-Richtung gestreckt und um 3 LE nach oben verschoben werden.
a) Wie lautet der zugehörige Funktionsterm, wenn zuerst die Streckung, dann die Verschiebung erfolgt?
b) …bei umgekehrter Reihenfolge?
Beispiel
f
 
x
=
2
−
x
2
x
+
3
Gf wird nun an der x-Achse gespiegelt, in y-Richtung mit Faktor 1/2 gestaucht und um 1 Einheit nach links verschoben. Gib den zugehörigen Funktionsterm vereinfacht an.
Wie beeinflusst die Veränderung des Funktionsterms f(x) die Streckung/Stauchung des Graphen?
#1052
Sei Gf der Graph einer Funktion f und a > 0.
  • a·f(x)
    bewirkt eine Streckung von Gf in y-Richtung mit dem Faktor a. Eine echte Streckung liegt im Fall a > 1 vor, im Fall 0 < a < 1 erhält man eine Stauchung.
  • f(a·x)
    bewirkt eine Streckung von Gf in x-Richtung mit dem Faktor 1/a. Eine echte Streckung liegt im Fall 0 < a < 1 vor, im Fall a > 1 handelt es sich um eine Stauchung.
Beispiel
G
f
 soll jeweils mit Faktor 2 in y-Richtung bzw. in x-Richtung  gestreckt werden. Wie lautet der dazu passende Funktionsterm?
a) 
f
 
x
=
1,5
 
x
−
3
2
+
1
b) 
f
 
x
=
2
x
+
3
−
1
c) 
f
 
x
=
3
·
0,5
x
+
2

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