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Graphen verschieben, spiegeln und strecken, Mathe-Übungen
Veränderungen des Funktionsterms und Auswirkungen auf den Funktionsgraphen - Lehrplan
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Der Graph von h geht aus dem Graphen von f durch Verschiebung hervor. Bilde einen Funktionsterm für h und gib ihn vereinfacht, insbesondere ohne Klammern, an. Variablenpotenzen sind in der Form "x^n" einzugeben.
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f
x
=
x
3
−
0,5x
+
1
h
x
=
Notizfeld
Notizfeld
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Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
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Stoff zum Thema (+Video)
Lernvideo
Funktionsgraphen verschieben
Kanal: Mathegym
Lernvideo
Funktionsgraphen strecken und stauchen
Kanal: Mathegym
h ( x ) =
G
h
geht aus G
f
hervor durch
f ( x + a )
Verschiebung um |a| Einheiten nach rechts (a < 0) bzw. links (a > 0)
f ( x ) + a
Verschiebung um |a| Einheiten nach oben (a > 0) bzw. unten (a < 0)
a · f ( x ), a > 0
Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (a < 1) in y-Richtung
− f ( x )
Spiegelung an der x-Achse
f ( a · x ), a > 0
Streckung mit Faktor 1/a in x-Richtung
f ( −x )
Spiegelung an der y-Achse
Beispiel 1
Wie entsteht der Graph von h aus dem Graphen von f? Gib einen passenden Term für h an.
Beispiel 2
f
x
=
1
3
·
2
x
−
1,5
h
x
=
2
x
−
3
+
1
Welche Verschiebung(en)/Streckung(en)/Spiegelung(en) sind am Graphen von f durchzuführen, um den Graphen von h zu erhalten?
Sei G
f
der Graph einer Funktion f und a > 0.
a·f(x)
bewirkt eine Streckung von G
f
in y-Richtung mit dem Faktor a. Eine echte Streckung liegt im Fall
a > 1
vor, im Fall
0 < a < 1
erhält man eine Stauchung.
f(a·x)
bewirkt eine Streckung von G
f
in x-Richtung mit dem Faktor 1/a. Eine echte Streckung liegt im Fall
0 < a < 1
vor, im Fall
a > 1
handelt es sich um eine Stauchung.
Beispiel
G
f
soll jeweils mit Faktor 2 in y-Richtung bzw. in x-Richtung gestreckt werden. Wie lautet der dazu passende Funktionsterm?
a)
f
x
=
1,5
x
−
3
2
+
1
b)
f
x
=
2
x
+
3
−
1
c)
f
x
=
3
·
0,5
x
+
2
Wird der Graph einer Funktion in dieselbe Richtung gestreckt und verschoben, so ist die Reihenfolge der beiden Operationen für das Ergebnis entscheidend. Praktisch bedeutet das, eine geeignete Klammer zu setzen, wenn zuerst die Verschiebung erfolgt.
Beispiel
f
x
=
2
x
−
5
G
f
soll mit Faktor
1
3
in y-Richtung gestreckt und um 3 LE nach oben verschoben werden.
a) Wie lautet der zugehörige Funktionsterm, wenn zuerst die Streckung, dann die Verschiebung erfolgt?
b) …bei umgekehrter Reihenfolge?
Beispiel
f
x
=
2
−
x
2
x
+
3
G
f
wird nun an der x-Achse gespiegelt, in y-Richtung mit Faktor 1/2 gestaucht und um 1 Einheit nach links verschoben. Gib den zugehörigen Funktionsterm vereinfacht an.
Sei G
f
der Graph einer Funktion f.
−f(x)
bewirkt eine Spiegelung von G
f
an der x-Achse, d.h. man multipliziert dazu den gesamten Funktionsterm mit −1.
f(−x)
bewirkt eine Spiegelung von von G
f
an der y-Achse, d.h. man ersetzt jede x-Variable im Term durch (−x).
Beispiel
f
x
=
1
−
3x
2
2x
+
1
Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph gegenüber G
f
an der x-Achse bzw. an der y-Achse gespiegel ist?
Sei G
f
der Graph einer Funktion f und c > 0.
f(x) ± c
bewirkt eine Verschiebung von G
f
um c LE nach oben bzw. unten.
f(x ± c)
bewirkt eine Verschiebung von G
f
um c Einheiten nach links bzw. rechts. Man ersetzt also alle x-Variablen im Term durch
(x + c)
bzw. durch
(x − c)
.
Beispiel
f
x
=
3x
2x
+
1
Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph
gegenüber G
f
um eine Einheit nach rechts verschoben ist?
gegenüber G
f
um eine Einheit nach unten verschoben ist?
Durch bestimmte Vorfaktoren lassen sich Amplitude und Periode der normalen Sinuskurve verändern.
Amplitude
beschreibt die Ausprägung in y-Richtung, normalerweise beträgt sie 1. Unter
Periode
versteht man die Länge des Intervalls, indem sich der Graph nicht wiederholt, normalerweise beträgt diese 2π. Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
y = a·sin(x) in y-Richtung gestreckt (|a| > 1) bzw. gestaucht (|a| < 1). Ist a negativ, erscheint der Graph zudem an der x-Achse gespiegelt.
y = sin(b·x), b>0, in x-Richtung gestreckt (0 < b < 1) bzw. gestaucht (b > 1). Ihre Periode ergibt sich aus 2π / b.
Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
y = sin(x + c) in x-Richtung nach rechts (c < 0) bzw. links (c > 0) verschoben.
y = sin(x) + d in y-Richtung nach oben (d > 0) bzw. unten (d < 0) verschoben.
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