Integral - Gesamtänderung einer Größe, Matheübungen

Bedeutung des Integrals über eine Änderungsrate im Sachzusammenhang; Flächenbilanz als Bestandsänderung; graphisch oder rechnerisch von der zeitlichen Änderungsrate auf die Gesamtänderung schließen. - 11 Aufgaben in 3 Levels

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    Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

    Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Entscheide jeweils, welche Bedeutung das Integral besitzt.
    • Die Funktion 
    d:
     
    t
     
    ↦
     
    d
     
    t
     beschreibt in ihrer Definitionsmenge 
    0;
     
    120
     die Durchflussrate von Erdgas von einer Pipeline in einen Gasspeicher. Dabei ist t die Zeit in Minuten seit Beobachtungsbeginn und 
    d
     
    t
     die Durchflussrate, die in 
    m
    3
    min
     gemessen wird.
    Dann entspricht das Integral 
    30
    0
    d
     
    t
     
    dt
     …
    der Durchflussrate in 
    m
    3
     nach 30 Minuten.
    einer Zeitspanne von einer halben Stunde.
    der Gasmenge in 
    m
    3
    ,
     die in der ersten halben Stunde in den Speicher gelangt.
    der Geschwindigkeit in 
    m
    3
    min
    ,
     mit der das Gas nach 30 Minuten in den Speicher strömt.
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Kanal: Mathehoch13
Wie wird die Gesamtänderung einer Größe G(t) bei bekannter Änderungsrate G'(t) berechnet?
#1377

Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

Beispiel 1
An einem Flüssiggasterminal wird ein voll beladener LNG-Tanker innerhalb von 20 Stunden vollständig entladen. Der Vorgang wird näherungsweise durch die in ℝ definierte Funktion R mit  
R
 
x
=
x
−
10
4
−
10000
 modelliert. Dabei ist 
x
 
∈
 
[0;
 
20]
 die Zeit in Stunden ab dem Beginn der Entladung und 
R
 
x
 die Entladerate in Kubikmetern pro Stunde.
Berechne im Rahmen dieses Modells die Ladekapazität des LNG-Tankers.
Beispiel 2
In einer Fertigungshalle bewegt sich ein Roboter auf geradlinigen Schienen nach rechts oder links. Für einen bestimmten Fertigungsschritt muss der Roboter seine Position 
x
 
t
 wie in der folgenden Abbildung dargestellt ändern:
graphik
Dabei ist 
v
 
t
 die Änderungsrate der Roboterposition in 
m
s
 und t die Zeit seit Beginn des Fertigungsschritts in Sekunden. Positive Werte von v stehen für Bewegungen nach rechts, negative für Bewegungen nach links. Zu Beginn steht der Roboter 
3
 
m
 vom linken Ende der Schienen entfernt.
Bestimme die Endposition des Roboters und die von ihm insgesamt zurückgelegte Strecke.