Integral - Gesamtänderung einer Größe, Matheübungen

Bedeutung des Integrals über eine Änderungsrate im Sachzusammenhang; Flächenbilanz als Bestandsänderung; graphisch oder rechnerisch von der zeitlichen Änderungsrate auf die Gesamtänderung schließen. - 11 Aufgaben in 3 Levels

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  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Bei der Suche einer Stammfunktion für w(t) kann ausgenutzt werden, dass vor dem exponentiellen Term (bis auf das Vorzeichen) die Ableitung des Exponenten steht.
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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

    Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2
  • Ermittle aus der Änderungsrate die Gesamtänderung.
    • Sonnenblumen wachsen sehr schnell: Nach spätestens 3,5 Monaten haben sie ihre maximale Höhe erreicht. Dieser Vorgang kann modellhaft durch die in ℝ definierte Funktion w mit 
    w
     
    t
    =
    t
    ·
    e
    −
    0,5
    t
    2
     beschrieben werden. Dabei ist 
    t
     
    ≥
     
    0
     die Zeit in Monaten seit der Aussaat und 
    w
     
    t
     die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Monat.
    Berechne mithilfe dieses Modells die maximale Höhe der Sonnenblume, gerundet auf Zentimeter:
     
    cm
  • keine Berechtigung
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Kanal: Mathehoch13
Wie wird die Gesamtänderung einer Größe G(t) bei bekannter Änderungsrate G'(t) berechnet?
#1377

Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

Beispiel 1
An einem Flüssiggasterminal wird ein voll beladener LNG-Tanker innerhalb von 20 Stunden vollständig entladen. Der Vorgang wird näherungsweise durch die in ℝ definierte Funktion R mit  
R
 
x
=
x
−
10
4
−
10000
 modelliert. Dabei ist 
x
 
∈
 
[0;
 
20]
 die Zeit in Stunden ab dem Beginn der Entladung und 
R
 
x
 die Entladerate in Kubikmetern pro Stunde.
Berechne im Rahmen dieses Modells die Ladekapazität des LNG-Tankers.
Beispiel 2
In einer Fertigungshalle bewegt sich ein Roboter auf geradlinigen Schienen nach rechts oder links. Für einen bestimmten Fertigungsschritt muss der Roboter seine Position 
x
 
t
 wie in der folgenden Abbildung dargestellt ändern:
graphik
Dabei ist 
v
 
t
 die Änderungsrate der Roboterposition in 
m
s
 und t die Zeit seit Beginn des Fertigungsschritts in Sekunden. Positive Werte von v stehen für Bewegungen nach rechts, negative für Bewegungen nach links. Zu Beginn steht der Roboter 
3
 
m
 vom linken Ende der Schienen entfernt.
Bestimme die Endposition des Roboters und die von ihm insgesamt zurückgelegte Strecke.