Integral - Volumen von Rotationskörpern, Matheübungen

Interpretation der Rotation eines Graphen um die x-Achse; Volumenberechnungen bei Rotationskörpern; Sachaufgaben mit Rotationskörpern. - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 6 Aufgaben in 2 Levels

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    Für eine stetige Funktion f, die in einem Intervall [a;b] definiert ist, kann man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse um die x-Achse rotieren lassen. Dadurch entsteht ein Rotationskörper, dessen Volumen V dem Integral über (f(x))² mit Untergrenze a und Obergrenze b, multipliziert mit π, entspricht.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 1
  • Berechne das Volumen des Rotationskörpers.
    • graphik
    Die Abbildung zeigt, wie das Modell eines Sektglases aus dem Graphen der in 
    0;
     
    10
     definierten Funktion f mit 
    f
     
    x
    =
    x
     hervorgeht: Lässt man die Fläche unter 
    G
    f
     um die x-Achse rotieren, so ergibt sich als Rotationskörper der "liegende" Kelch des Sektglases.
    Ermittle auf ganze Milliliter gerundet, wie viel Sekt sich im (nun aufrecht stehenden) Glas befindet, wenn der Kelch neun Zentimeter hoch befüllt wird und eine Längeneinheit im Modell einem Zentimeter in Wirklichkeit entspricht.
    V
    =
     
    ml
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Stoff zum Thema (+Video)
ROTATIONSKÖRPER um x-Achse – VOLUMEN berechnen mit Integral, Formel Rotationsvolumen
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ROTATIONSKÖRPER um x-Achse – VOLUMEN berechnen mit Integral, Formel Rotationsvolumen

Kanal: MathemaTrick
Wie entsteht ein Rotationskörper aus dem Graphen einer Funktion und wie berechnet man dessen Volumen?
#1378
Für eine stetige Funktion f, die in einem Intervall [a;b] definiert ist, kann man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse um die x-Achse rotieren lassen. Dadurch entsteht ein Rotationskörper, dessen Volumen V dem Integral über (f(x))² mit Untergrenze a und Obergrenze b, multipliziert mit π, entspricht.
Beispiel
graphik
Die Abbildung zeigt ein ungefähres Modell des Luftschiffs Hindenburg, das am 6.5.1937 bei einem tragischen Unfall in Flammen aufging. Der dargestellte Körper kann aus dem Graphen der in 
−
120;
 
120
 definierten Funktion f mit 
f
 
x
=
0,00025x
3
−
0,03x
2
−
3,6x
+
432
 gewonnen werden: Lässt man die Fläche unter 
G
f
 um die x-Achse rotieren, so ergibt sich als Rotationskörper das Modell des Luftschiffs.
Ermittle, welches Volumen der Korpus der Hindenburg hatte, wenn eine Längeneinheit im Modell einem Meter in Wirklichkeit entspricht.