1.7 Integrale und Änderungsraten, Matheübungen

Integralrechnung - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 26 Aufgaben in 6 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Zwischenschritt

    Die Wachstumsrate beschreibt die Änderung der Pflanzenhöhe pro Woche. Ihr bestimmtes Integral über den betrachteten Zeitraum liefert den Höhenzuwachs.

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  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 6
  • Beantworte im Sachzusammenhang.
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    • Eine Pflanze wird ausgesät. Ab der ersten Woche lässt sich ihre Wachstumsrate beschreiben durch \(\displaystyle h(t)=\frac{30}{t^{2}}\) mit \(\displaystyle t\geq 1\) (\(\displaystyle t\) in Wochen nach der Aussaat, \(\displaystyle h(t)\) in Zentimetern pro Woche).

    Schritt 1 von 3

    1. Berechne, um wie viel Zentimeter die Pflanze zwischen dem Ende der ersten und dem Ende der sechsten Woche wächst.

      Die Pflanze wächst um \(\displaystyle \text{cm}\text{.}\)

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Lösung
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Rekonstruktion von Größen/Beständen mit Integral (Einführung)
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Rekonstruktion von Größen/Beständen mit Integral (Einführung)

Kanal: Mathehoch13
Wie wird die Gesamtänderung einer Größe G(t) bei bekannter Änderungsrate G'(t) berechnet?
#1377

Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

Beispiel 1
In einer Fertigungshalle bewegt sich ein Roboter auf geradlinigen Schienen nach rechts oder links. Für einen bestimmten Fertigungsschritt muss der Roboter seine Position 
x
 
t
 wie in der folgenden Abbildung dargestellt ändern:
graphik
Dabei ist 
v
 
t
 die Änderungsrate der Roboterposition in 
m
s
 und t die Zeit seit Beginn des Fertigungsschritts in Sekunden. Positive Werte von v stehen für Bewegungen nach rechts, negative für Bewegungen nach links. Zu Beginn steht der Roboter 
3
 
m
 vom linken Ende der Schienen entfernt.
Bestimme die Endposition des Roboters und die von ihm insgesamt zurückgelegte Strecke.
Beispiel 2
An einem Flüssiggasterminal wird ein voll beladener LNG-Tanker innerhalb von 20 Stunden vollständig entladen. Der Vorgang wird näherungsweise durch die in ℝ definierte Funktion R mit  
R
 
x
=
x
−
10
4
−
10000
 modelliert. Dabei ist 
x
 
∈
 
[0;
 
20]
 die Zeit in Stunden ab dem Beginn der Entladung und 
R
 
x
 die Entladerate in Kubikmetern pro Stunde.
Berechne im Rahmen dieses Modells die Ladekapazität des LNG-Tankers.