Koordinatengeometrie im Raum - Abstandsbestimmungen, Matheübungen

Abstand zwischen zwei Punkten, zwischen Punkt und Gerade, zwischen Punkt und Ebene, zwischen zwei windschiefen Geraden - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 19 Aufgaben in 4 Levels

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  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu bestimmen:

    Mittels Hilfsebene:

    1. Führe eine Hilfsebene E ein, die P enthält und senkrecht zu g verläuft (also den Richtungsvektor von g als Normalenvektor besitzt).
    2. Ermittle den Schnittpunkt S von E und g.
    3. Berechne die Entfernung zwischen P und S.

    Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":

    1. Bilde den Vektor, der P mit einem Punkt Qλ der Geraden g verbindet.
    2. Bestimme λ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g steht (also das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g den Wert 0 ergibt).
    3. Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 3
  • Berechne den Abstand von P zur Geraden g.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • P(4|0|0)
    g: 
    X
    =
    1
    1
    1
    +
    λ
     
    1
    2
    1
    d(g;P)
    =
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie wird der Abstand zweier Punkte mittels eines Vektors bestimmt?
#599
Der Abstand zweier Punkte A und B (= Entfernung) ist gleich der Länge ihres Verbindungsvektors.
Beispiel
Welchen Abstand haben die Punkte A(1|-3|-7) und B(-2|3|-6) von einander?
Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform?
#600
Um den Abstand eines Punktes P(p1 | p2 | p3) von einer Ebene E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 zu ermitteln, gehe wie folgt vor:
  1. Setze P in E ein, d.h. bestimme den Term n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 + n0.
  2. Teile den Betrag vom Ergebnis oben durch die Länge des Normalenvektors mit den Koordinaten n1, n2 und n3.
Beispiel
Welchen Abstand hat der Punkt P(1|-2|6) von der Ebene E
:
2x
1
+
x
2
−
4x
3
−
9
=
0
 
?
Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Erläutere zwei Methoden.
#601
Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

  1. Führe eine Hilfsebene E ein, die P enthält und senkrecht zu g verläuft (also den Richtungsvektor von g als Normalenvektor besitzt).
  2. Ermittle den Schnittpunkt S von E und g.
  3. Berechne die Entfernung zwischen P und S.

Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":

  1. Bilde den Vektor, der P mit einem Punkt Qλ der Geraden g verbindet.
  2. Bestimme λ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g steht (also das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g den Wert 0 ergibt).
  3. Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
Beispiel
Welchen Abstand hat der Punkt P(5|-3|2) von der Geraden g: 
X
=
−
2
0
4
+
λ
 
1
2
−
2
?
Wie kann man den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden g und h berechnen?
#602
Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

  1. Führe eine Hilfsebene E ein, die g enthält und parallel ist zu h (für die Gleichung von E in Parameterform kann man den Aufpunkt von g und die Richtungsvektoren beider Geraden verwenden).
  2. Wandle E in Normalenform um.
  3. Bestimme den Abstand zwischen dem Aufpunkt von h und der Hilfsebene E.
Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":
  1. Bilde den Vektor, der einen Punkt Pλ der Geraden g mit einem Punkt Qμ der Geraden h verbindet.
  2. Bestimme λ und μ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g und h steht (also das Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren von g und h jeweils den Wert 0 ergibt).
  3. Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
Beispiel
Bestimme den Abstand der beiden Geraden g und h:
g: 
x
=
−
3
−
1
6
+
λ
·
1
−
1
0
h: 
x
=
0
0
5
+
λ
·
2
3
−
4