Koordinatengeometrie im Raum - Ebenen - Normalenform, Matheaufgaben

Ebene durch drei Punkte, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage Ebene - Gerade, gegenseitige Lage Ebene - Ebene, Lotgerade und Lotebene, Spiegelung an Gerade/Ebene

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Überprüfe, ob der Punkt P in der Ebene E liegt.

Ebene E
:
3x
1

+
4x
2

+
2x
3

−
12

=
0

Liegt der Punkt P(2|1|1) in der Ebene E?
Ja

Nein

Liegt der Punkt Q(4|-1|2) in der Ebene E?
Ja

Nein

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Wie überprüft man, ob ein Punkt P in einer Ebene E in Koordinatenform liegt?

#608

Um zu überprüfen, ob der Punkt P(p₁ | p₂ | p₃) in der Ebene E: n₁ x₁ + n₂ x₂ + n₃ x₃ + n₀ = 0 enthalten ist, setze P in E ein, d.h. überprüfe die Aussage n₁ p₁ + n₂ p₂ + n₃ p₃ + n₀ = 0 auf Richtigkeit.

Wie konstruiert man die Lotgerade zu einer Ebene und die Lotebene zu einer Geraden durch einen Punkt?

#795

Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.

Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.

Wie erkennt man, ob eine Ebene E in Koordinatenform durch den Ursprung geht oder zu einer Achse bzw. Ebene parallel ist?

#609

E: n₁ x₁ + n₂ x₂ + n₃ x₃ + n₀ = 0 ist

Ursprungsebene (d.h. enthält den Ursprung des Koordinatensystems) genau dann, wenn n₀ = 0.z.B. 3x₁ + 2x₂ − x₃ = 0 [keine Konstante am Ende].
parallel zur x₁-Achse genau dann, wenn n₁ = 0.z.B. 2x₂ − x₃ + 5 = 0 [x₁ kommt nicht vor].
parallel zur x₁ x₂-Ebene genau dann, wenn n₁ = n₂ = 0.z.B. 2x₃ + 3 = 0 [x₁ und x₂ kommen nicht vor].

Für die anderen Koordinatenachsen und -ebenen analog.

Wie bestimmt man die Lage einer Geraden zu einer Ebene und findet einen Schnittpunkt?

#613

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

Setze g in E ein, d.h. ersetze x₁, x₂ und x₃ in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.

Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar

echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.

Welche Komponenten sind für die Normalengleichung einer Ebene notwendig?

#687

Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.

Beispiel

Die Ebene E besitzt den Normalenvektor

−

und enthält den Punkt P(0|2|0).

Wie kann man feststellen, ob zwei Ebenen parallel, senkrecht oder sich schneidend sind?

#778

Soll man nur die Lagebeziehung von zwei Ebenen ermitteln (und nicht die Schnittgerade aufstellen), so genügt es auch zu prüfen, ...

... ob die Normalenvektoren linear abhängig sind (⇒ E und F parallel). In diesem Fall kann man durch Einsetzen des Aufpunkts der einen Ebene in die andere Ebene prüfen, ob E und F echt parallel oder identisch sind.
... ob die Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen (⇒ auch E und F senkrecht zueinander).

Trifft beides nicht zu, schneiden sich die Ebenen, jedoch nicht senkrecht.

Wie leitet man die Normalenform einer Ebene aus drei gegebenen Punkten ab?

#610

Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man einen der Punkte als Aufpunkt und das Vektorprodukt zweier Verbindungsvektoren als Normalenvektor für ihre Gleichung in Normalenform verwenden.

Beispiel

Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|2|-2), B(3|-3|-5) und C(5|-3|4) geht, eine Gleichung in Normalenform (Koordinatendarstellung) an.

Wie führt man Spiegelungen geometrischer Objekte an Geraden und Ebenen durch?

#799

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.

Wie bestimmt man die Lage und Schnittgerade zweier Ebenen in Normalenform?

#611

Sind zwei Ebenen E und F jeweils durch eine Gleichung in Normalenform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:

Vergleiche zuerst die Normalenvektoren beider Ebenen: sind sie linear abhängig, so sind E und F parallel. Lässt sich zudem die Gleichung von E durch Äquivalenzumformung (Multiplikation mit geeignetem Faktor auf beiden Seiten) in die Gleichung von F überführen, so sind E und F sogar identisch.
Andernfalls schneiden sich E und F. Eine Gleichung in Parameterform für die Schnittgerade s erhält man so:
1. Setze z.B. x₁ = λ.
2. Löse z.B. die Gleichung von E nach x₂ auf und setze das Ergebnis in die Gleichung von F ein. So erhältst du eine Gleichung der Sorte x₃ = ....λ....
3. Setze dieses Ergebnis in E ein und du du erhältst schließlich x₂=...λ...
4. Schreibe die Ergebnisse für x₁, x₂ und x₃ untereinander und forme daraus "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor".

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.

Wie bestimmt man die Lage und Schnittgerade zweier Ebenen, wenn eine in Parameterform und die andere in Normalenform gegeben ist?

#612

Ist die Ebene E durch eine Gleichung in Normalenform und die Ebene F durch eine Gleichung in Paramterform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:

Setze F in E ein, d.h. ersetze x₁, x₂ und x₃ in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen des F-Gleichungssystems.
Löse die entstehende λ,μ-Gleichung, wenn möglich, z.B. nach μ auf und setze das Ergebnis in die F-Gleichung für μ ein.
Fasse zu "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor" zusammen.

Eine Schnittgerade liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind die Ebenen parallel, und zwar

echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
identisch, wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.

Beispiel