Koordinatengeometrie im Raum - Geraden - gegenseitige Lage, Matheübungen

Bestimmung der Lagebeziehung zweier Geraden (identisch/echt parallel, sich schneidend oder windschief).

Hilfe
  • Um zwei Geraden g und h hinsichtlich ihrer Lage zueinander zu untersuchen, betrachtet man zunächst ihre Richtungsvektoren.
    • Sind diese linear abhängig, so sind g und h identisch oder parallel zueinander. Zur Unterscheidung prüft man, ob z.B. der Aufpunkt von g auf h liegt (wenn ja:identisch, ansonsten echt parallel).
    • Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, so setzt man beide Geraden gleich und betrachtet das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, zwei unbekannte Parameter). Lässt es sich eindeutig lösen, so schneiden sich g und h in einem Punkt S. Andernfalls (unlösbar) liegen g und h windschief zueinander.
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Untersuche beide Geraden hinsichtlich ihrer Lage und kreuze richtig an.

  • g
    :
    X
    =
    5
    −
    4
    −
    1
    +
    μ
    ·
    −
    3
    4,5
    6
     
         
     
    h
    :
    X
    =
    1
    2
    7
    +
    μ
    ·
    2
    −
    3
    −
    4
    Beide Geraden
    sind identisch
    sind (echt) parallel
    sind windschief oder schneiden sich
    Notizfeld
    Notizfeld
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Wie bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden im Raum und wie erfolgt die rechnerische Ermittlung?
#597
Um zwei Geraden g und h hinsichtlich ihrer Lage zueinander zu untersuchen, betrachtet man zunächst ihre Richtungsvektoren.
  • Sind diese linear abhängig, so sind g und h identisch oder parallel zueinander. Zur Unterscheidung prüft man, ob z.B. der Aufpunkt von g auf h liegt (wenn ja:identisch, ansonsten echt parallel).
  • Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, so setzt man beide Geraden gleich und betrachtet das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, zwei unbekannte Parameter). Lässt es sich eindeutig lösen, so schneiden sich g und h in einem Punkt S. Andernfalls (unlösbar) liegen g und h windschief zueinander.
Beispiel
g
:
X
=
1
−
1
5
+
μ
·
−
3
4
2
 
     
 
h
:
X
=
1
3
−
2
+
μ
·
6
8
−
4
i
:
X
=
0
−
3
14
+
μ
·
1
−
2
1
 
     
 
k
:
X
=
−
2
3
7
+
μ
·
2
−
8
3
−
4
3
Untersuche, wie die Gerade g zu den anderen Geraden liegt.
Welche Vektoren kommen in der Parameterform einer Geraden vor und welche Bedeutung haben sie?
#596
Bei einer Gleichung in Parameterform wird der Ortsvektor zu einem Aufpunkt (Stützvektor) und ein Richtungsvektor der Geraden angegeben. Der Ortsvektor "verankert" die Gerade im Koordinatensystem, der Richtungsvektor gibt ihre Richtung vor. Weder der Orts- noch der Richtungsvektor sind eindeutig festgelegt.
Beispiel
Gegeben ist die Gerade g
:
X
=
2
2
−
3
+
μ
·
−
1
1
2
 
.
(a) Gib für g eine andere Gleichung in Parameterform an, die weder im Ortsvektor noch im Richtungsvektor mit der Gleichung oben übereinstimmt.
(b) Gib eine Gleichung an für die Gerade h, die parallel zu g ist und durch den Punkt (1|2|-5) geht.
(c) Gib eine Gleichung an für eine Gerade i, die senkrecht zu g steht und g in einem beliebigen Punkt schneidet.)

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