Wenn man zu einem gegebenen Vektor \( \vec{v}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) einen Vektor mit gleicher Richtung aber anderer Länge bestimmen möchte, geht man wie folgt vor:
Zuerst bestimmt man den Einheitsvektor des gegebenen Vektors. Er hat die Länge \(1\) und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor. Es gilt:
\[ \vec{v_0} = \frac{1}{|\vec{v}|}\cdot \vec{v} \text{ mit } |\vec{v}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
Soll der neue Vektor die Länge \(k\) besitzen, multipliziert man den Einheitsvektor mit \(k\):
\[ \vec{v_{neu}} = k \cdot \vec{v_0} \]
Der Vektor \( \vec{v_{neu}} \) hat damit dieselbe Richtung wie \( \vec{v} \), aber die gewünschte Länge \(k\).
Richtung: \(\vec{r} = \begin{pmatrix} -12\\0 \\5\end{pmatrix}\text{,}\) Länge: \(3\)
\(\Rightarrow\vec{u} = \frac{\class{mathjax-input mathjax-input-0}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}}{\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}}\cdot \begin{pmatrix} \class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\\\class{mathjax-input mathjax-input-3}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}} \\5\end{pmatrix}\)
Bestimme den Vektor, der dieselbe Richtung wie der angegebene Vektor und die vorgegebene Länge hat:
\[ \vec{r} = \begin{pmatrix} -8\\0\\6 \end{pmatrix} \text{,}\qquad \text{Länge: }3 \]
b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3
Vektoren addieren und subtrahieren
Geometrisch addiert man Vektoren, indem man ihre Pfeildarstellungen "Fuß an Spitze" aneinanderlegt. Die Reihenfolge der Pfeile ist dabei beliebig. Einen Vektor zu subtrahieren heißt, seinen Gegenvektor zu addieren.
