Koordinatengeometrie im Raum - Schnittwinkel, Matheaufgaben

Gerade - Gerade, Gerade - Ebene, Ebene - Ebene - 8 Aufgaben in 2 Levels

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    Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

    \[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

    Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

    • Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
    • Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
    • Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2
  • Bestimme den gesuchten Winkel im Sachzusammenhang. Ergebnis(se) mit 1 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Im Modell eines geplanten Einfamilienhauses liegt eine der rechteckigen Dachflächen in der Ebene mit der Koordinatendarstellung 
    E:
     
     
    x
    1
    −
    x
    2
    +
    4x
    3
    −
    20
    =
    0
    . Auf dieser Dachfläche muss vertikal (also genau in positive 
    x
    3
    -Richtung) ein Schornstein errichtet werden. Bestimme den Winkel α zwischen Schornstein und Dachfläche in Grad und runde ihn auf eine Dezimale.
    α ≈  ▉ °
    Schritt 1 von 4
    Entscheide, welche der folgenden Schritte hier zum Ziel führen:
    Zunächst bestimmt man …
    einen Richtungsvektor für den Schornstein.
    zwei Richtungsvektoren der Dachflächen-Ebene E.
    Man berechnet anschließend den Winkel β zwischen …
    den Richtungsvektoren von E.
    dem Richtungsvektor des Schornsteins und dem Normalenvektor von E.
    Der gesuchte Winkel α ergibt sich aus … 
    dem Betrag von β.
    der Differenz 90° - β.
    aus der Summe 90° + β.
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema
Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?
#1451

Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

  • Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
  • Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
  • Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
Beispiel
Berechne den Schnittwinkel zwischen den Ebenen \(E_1\) und \(E_2\text{:}\) \[ E_1: \; 2x + y - z - 3 = 0 \] \[ E_2: \; x - y + 2z - 1 = 0 \]

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