6.4 Kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Matheübungen

Extremstellen und Wendestellen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 34 Aufgaben in 7 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 3
  • Beschreibe ein Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem gegebenen Term berechnet werden kann.
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    • Bei einem Schulfest können Lose gekauft werden. Für jedes Los erhält man einen Preis. Im Lostopf befinden sich \(50\) Lose, von denen \(5\) mit "Hauptpreis" und der Rest mit "Trostpreis" beschriftet sind.

    $$1-\frac{\binom{45}{5}}{\binom{50}{5}}$$

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Stoff zum Thema
Wann ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt?
#1222
Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach B(n;p), wenn X die Werte 0, 1, 2, ..., n (n natürliche Zahl) annimmt und wenn P(X=k)=(nk)·pk·(1−p)n−k gilt.

Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt.

Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?
#1151

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\)) ist zwischen nicht kumuliert (\(P(X=k)\)) und kumuliert (\(P(X\le k)\)) zu unterscheiden.

Berechnung mit dem GTR

Gegeben: Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:

\[ B_{n,p}(k)=P(X=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k) \]

Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer:

\[ F_{n,p}(k)=P(X\le k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k) \]

Hinweis: Bei vielen Experimenten (z. B. Ziehen mehrerer Kugeln auf einmal oder hintereinander ohne Zurücklegen) liegt keine Bernoulli-Kette vor; dann gelten andere Modelle/Formeln (z. B. hypergeometrische Verteilung).

Beispiel 1

Ein Würfel wird zehnmal hintereinander geworfen.

A: Es fällt genau dreimal die Augenzahl \(\displaystyle 6\text{.}\)

B: Beim vierten Wurf fällt zum ersten Mal die Augenzahl \(\displaystyle 6\text{.}\)

Welches Ereignis passt jeweils zum Term? Begründe.

a) \(\displaystyle \binom{10}{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{3}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{7}\)

b) \(\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^{3}\cdot\frac{1}{6}\)

Beispiel 2
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…
a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.
d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.
 
Beispiel

Beschreibe ein Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem gegebenen Term berechnet werden kann.

Ein Spielwürfel wird mehrmals hintereinander geworfen.

\(1-\left(\frac{5}{6}\right)^{8}-8\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{7}\)

Wie berechnet man mit einem GTR die Wahrscheinlichkeit für genau oder höchstens r Treffer bei einer Binomialverteilung?
#785

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem GTR:

Gegeben: Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeit für GENAU r Treffer:

Bn,p = P(X = r) = binompdf (n , p , r)

Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS r Treffer:

Fn,p = P(X ≤ r) = binomcdf (n , p , r)
Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten der Form P(Z≤k) und P(Z>k)?
#509

Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!

Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.

Beispiel
n
=
150; p
=
0,3
P
 
X ≥ 50
 ≈ ▇