2.6 Kurvendiskussion mit Parameter NUR TECHNIKER, Matheübungen

Unterschiedliche Aspekte mit Parameter untersuchen - Lehrplan - 21 Aufgaben in 5 Levels

Hilfe
  • Hilfe zur Aufgabe

    Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Kandidaten für Extremstellen; mit der zweiten Ableitung bestimmst du ihre Art.

  • Setze \(\displaystyle f_a'(x)=0\) und teile die Gleichung durch \(\displaystyle 3\text{.}\) Löse die entstehende quadratische Gleichung nach \(\displaystyle x\) auf; dabei behandelst du \(\displaystyle a\) wie eine feste Zahl.

  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level

    Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

    Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

  • Tipp zum Level
    1. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen
    2. diese in die zweite Ableitung einsetzen: ergibt sich ein positiver Wert, liegt ein Minimum vor; ergibt sich ein negativer Wert, liegt ein Maximum vor
    3. evtl. die erste Ableitung auf Vorzeichenwechsel prüfen, falls in (2) der Wert 0 herauskommt
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 3
  • Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit vom Scharparameter \(a\).
  • Zwischen­schritte aktivieren
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

    • \(\displaystyle f_a(x)=x^{3}-6ax^{2}+9a^{2}x-7a;\quad a>0\)

    Minimum bei \(\displaystyle x=\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\)Es gibt kein Minimum.
    Maximum bei \(\displaystyle x=\class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\)Es gibt kein Maximum.
Beispiel
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Notizen
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Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt die Aufgabe als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diesen Level verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema
Was ist eine Funktionenschar und wie berechnet man sie?
#690

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
−
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)
Wie bestimmt man den Parameterwert k für den Graphen einer Funktionenschar?
#1205
Zu jedem Einzelgraphen einer Funktionenschar fk lässt sich der passende Parameterwert von k ermitteln, indem man einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt und diese nach k auflöst.