Kurvendiskussion, Matheübungen

Ganzrationale, gebrochen-rationale, trigonometrische und verkettete Funktionen: Symmetrie zum KOSY, Nullstellen, Monotonie, Hoch- und Tiefpunkte - Lehrplan G8 (12. Klasse)

Hilfe
  • Hilfe speziell zu diesem Zwischenschritt
    Betrachte f(-x)
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Zwischenschritt" unterhalb der Aufgabe.

Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • Gegeben ist die für 
    x ∈ [-2;2]
     definierte Funktion f mit dem Funktionsterm 
    f
     
    x
    =
    sin
    2x
    +
    x
    5
    .
    a) Untersuche die Funktion auf Symmetrie zum KOSY.
    b) Bestimme die Ableitung f '.
    c) Bestimme die drei Nullstellen von f. Zwei Nullstellen ergeben sich annäherungsweise mit dem Verfahren von Newton (Startwert 
    s
    0
    =
    2
    , zwei Iterationen).
    d) Unter welchen Winkeln schneiden die Tangenten in den drei Nullstellen jeweils die x-Achse?
    e) Zeichne den Graphen mit Hilfe aller bisherigen Ergebnisse.
    Schritt 1/7
    Zu a)
    Gf ist
    symmetrisch zum Ursprung
    symmetrisch zur y-Achse
    weder noch
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
x
2
−
5x
−
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.
Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen (Kurvendiskussion):
  • maximale Definitionsmenge
  • Punkt- und Achsensymmetrie
  • Schnittpunkte mit x- und y-Achse
  • Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs/Asymptoten
  • relative Extremwerte/Monotonieverhalten
  • Wendepunkte/Krümmungsverhalten
Beispiel 1
f
 
x
=
x
2
+
2x
+
1
x
+
3
Untersuche die Funktion f hinsichtlich max. Derfinitionsmenge, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, relative Hoch- und Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Skizziere den Graphen und gib die Wertemenge an.
Beispiel 2
Diskutiere hinsichtlich maximaler Definitionsmenge, Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten in der Umgebung der Definitionslücke, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.
a) 
f
 
x
=
x
2
−
8x
+
16
x
3
−
x
2
−
12x
b) 
f
 
x
=
x
2
+
x
x
−
1
Beispiel
Gegeben ist die für x ∈ [-2π;2π] definierte Funktion f mit 
f
 
x
=
sin
 
2π
3
+
3
3
.
a) Untersuche den Graphen von f bzgl. Symmetrie zum Koordinatensystem.
b) Ermittle alle Nullstellen von f.
c) Bestimme alle relativen Extrempunkte von Gf.
d) Skizziere Gf unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse.