Lineare Funktionen - Funktionsterm berechnen, Matheaufgaben

Gleichung der Geraden durch zwei Punkte bzw. durch einen Punkt mit vorgegebener Steigung bestimmen

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TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme die Gleichung der Geraden mit folgenden Eigenschaften. Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" einzugeben!

g besitzt den y-Achsenabschnitt
t
=
3

und verläuft durch P(2|−1).
Geradengleichung:
y
=

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Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden mit bekanntem y-Achsenabschnitt und einem weiteren Punkt?

#656

Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt t und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:

Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für t setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.

Beispiel

Welche Steigung hat die Gerade, die durch t = 2,5 und P(2 | -0,5) gegeben ist?

Wie lautet die Geradengleichung?

Wie berechnet man die Steigung einer Geraden mit zwei gegebenen Punkten?

#151

Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x₁|y₁) und B(x₂|y₂) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:

Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y₂ − y₁.
Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x₂ − x₁.
Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.

Beispiel

Ermittle die Steigung der Gerade, die durch die Punkte (-1,5 | 2,5) und (0 | -3) geht.

Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt einer Geraden, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind?

#150

Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt t leicht bestimmen:

Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für m setze die bekannte Steigung ein).
Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten t auf.

Beispiel

Wo schneidet die Gerade, die durch

−

1,6

und P(2|−0,5) gegeben ist, die y-Achse?

Welche vier Ausnahmefälle sind zu beachten, wenn man die Lage zweier Geraden zueinander untersucht?

#156

Folgende Ausnahmefälle hinsichtlich der Lage zweier Geraden sind zu beachten:

Beide Geraden sind (echt) parallel, haben also keinen Schnittpunkt. Das passiert, wenn beide Geraden dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte haben. In dem Fall lässt sich die Gleichung g(x) = h(x) nicht lösen, es entsteht eine falsche Aussage wie z.B. 1=0.
Beide Geraden sind identisch, zu erkennen an derselben Steigung und demselben y-Achsenabschnitt. Die Gleichung g(x) = h(x) beschreibt in diesem Fall eine wahre Aussage wie z.B. 0 = 0, hat also unendlich viele Lösungen.
Eine Geraden ist senkrecht, z.B. x = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur bei x = 5 schneiden.
Eine Geraden ist waagrecht, z.B. y = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur in (?|5) schneiden.

Beispiel

f: y

g: x

h: y

i: y

0,125x

Untersuche paarweise, wie die Geraden zueinander liegen und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.

Wie prüfst du rechnerisch, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen?

#1193

Liegen drei Punkte auf einer Geraden?

Sind drei Punkte A(x_A|y_A), B(x_B|y_B) und C(x_C|y_C) gegeben, dann stelle eine Geradengleichung durch zwei Punkte, etwa A und B auf:

Berechne Δy = y_B − y_A und Δx = x_B − x_A
Berechne Steigung m = Δy/Δx
Berechne y-Achsenabschnitt t = y_A − m⋅x_A

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein:
y = m⋅x + t
Setze dann Punkt C ein:
y_C = m⋅x_C + t

Erhältst du rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleiche Zahl, liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ansonsten nicht.

Beispiel

Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?

A(1|2), B(3|8) und C(4|9)

Wie bestimmt man die Gleichung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten?

#154

Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und t, zu ermitteln: