Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme, Matheübungen

Rechnerisches und zeichnerisches Lösen von linearen Gleichungen (mit ein oder zwei Variablen bzw. eine Variable und ein Parameter) und linearen Gleichungssystemen - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 50 Aufgaben in 12 Levels

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    Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen. Grundsätzlich sind drei Fälle denkbar:
    • eine eindeutige Lösung
    • unendlich viele Lösungen
    • keine Lösung
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 12
  • Berechne im Kopf. Gib evtl. auftretende Brüche in der Form "a/b" bzw. "-a/b" an. Gib "!" an, falls es keine oder unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems gibt.
    • 3x
    		=
    2
    −
    y
    y
    		=
    3
    x
    =
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen definiert und welche Lösungen hat sie?
#875

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen lassen sich zum Beispiel in folgender Form schreiben:
  • ax + by = c ("Normalform" einer linearen Gleichung mit zwei Variablen)
  • y = mx + b (nach y aufgelöste Gleichung)
Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat immer mehrere Lösungen.
  • Die Lösungen sind Wertepaare (x|y), d.h. Einsetzen des Wertepaars (x|y) führt zu einer wahren Aussage.
  • Alle Lösungen (Wertepaare) der Gleichung liegen auf einer Geraden. Löst man die Gleichung nach y auf, so beschreibt die Gleichung die Gerade, auf der alle Lösung-Paare liegen.
Wie löst man eine lineare Gleichung zeichnerisch?
#423
Jede lineare Gleichung mit einer Unbekannten kann auch zeichnerisch gelöst werden: Die Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen werden dabei als Geraden interpretiert (y = ...). Zeichne die Geraden ein und schaue, ob und - wenn ja - wo sie sich schneiden.
Beispiel
Löse durch Zeichnung:
a) 
2
−
1
2
 
x
=
3
+
1,5
 
x
b) 
−
3x
+
0,25
=
−
1
2
Wie kann eine lineare Gleichung mit zwei Variablen interpretiert werden?
#424
Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y kann als Gerade interpretiert werden. Jeder Punkt (x- und y-Koordinate) der Gerade stellt eine von unendlich vielen Lösungen dar.
Beispiel
−
0,6x
−
0,75y
=
1,8
Stelle diese Gleichung als Gerade dar und lies drei Lösungen ab.
Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt einer Geraden, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind?
#150
Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt t leicht bestimmen:
  1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für m setze die bekannte Steigung ein).
  2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
  3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten t auf.
Beispiel
Wo schneidet die Gerade, die durch 
m
=
−
1,6
 und P(2|−0,5) gegeben ist, die y-Achse?
Welche vier Ausnahmefälle sind zu beachten, wenn man die Lage zweier Geraden zueinander untersucht?
#156
Folgende Ausnahmefälle hinsichtlich der Lage zweier Geraden sind zu beachten:
  • Beide Geraden sind (echt) parallel, haben also keinen Schnittpunkt. Das passiert, wenn beide Geraden dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte haben. In dem Fall lässt sich die Gleichung g(x) = h(x) nicht lösen, es entsteht eine falsche Aussage wie z.B. 1=0.
  • Beide Geraden sind identisch, zu erkennen an derselben Steigung und demselben y-Achsenabschnitt. Die Gleichung g(x) = h(x) beschreibt in diesem Fall eine wahre Aussage wie z.B. 0 = 0, hat also unendlich viele Lösungen.
  • Eine Geraden ist senkrecht, z.B. x = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur bei x = 5 schneiden.
  • Eine Geraden ist waagrecht, z.B. y = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur in (?|5) schneiden.
Beispiel
f: y
=
1
8
 
x
+
2
     
g: x
=
4
     
h: y
=
3
     
i: y
=
0,125x
Untersuche paarweise, wie die Geraden zueinander liegen und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Geraden?
#155

Den Schnittpunkt zweier Geraden ermittelt man, indem man ihre Funktionsterme gleichsetzt:

  1. Setze g(x) = h(x) und löse diese Gleichung nach x auf.
  2. Setze den ermittelten x-Wert in g(x) oder h(x) ein, so erhältst du den y-Wert des Schnittpunkts.

Spezialfall: Den Schnittpunkt einer Gerade g mit der x-Achse (y = 0) ermittelt man durch g(x) = 0.

Beispiel
Bestimme durch Rechnung den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h mit folgenden Gleichungen:
g
:
y
=
2,1
−
x
3
 
          
 
h
:
y
=
−
4
9
 
x
+
0,9
Wie kann ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten graphisch interpretiert werden?
#367
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann graphisch übersetzt werden:

Jede Gleichung (=Zeile) entspricht einer Geraden. Die Lösung des Gleichungssystems entspricht dann dem Schnittpunkt beider Geraden. Beachte die Sonderfälle:

  • keine Lösung bedeutet, dass die Geraden echt parallel sind
  • unendlich viele Lösungen bedeutet, dass die Geraden identisch sind
Wie zeichnet man eine Gerade, wenn Steigung m und y-Achsenabschnitt t bekannt sind?
#810
Um die Gerade mit der Gleichung y=mx+t zu zeichnen, gehe am besten wie folgt vor:
  1. Stelle die Steigung m als Bruch dar (falls nicht schon als Bruch gegeben), z.B. m = -1/4 .
  2. Gehe vom Schnittpunkt mit der y-Achse, also P(0|t) aus um den Nennerbetrag, hier also um 4, nach rechts.
  3. Gehe dann um den Zählerbetrag nach oben (falls m postiv) bzw. unten (falls m negativ). Hier also um 1 nach unten. Damit hast du einen zweiten Punkt und kannst die Gerade zeichnen.
Die Schritte 2 und 3 können auch vertauscht werden. Ebenso ist es egal, ob du Kästchen oder ganze Einheiten abzählst. Wichtig ist nur, dass du nach rechts und nach oben (bzw. unten) die gleichen Schrittlängen abgehst.
Beispiel
Bestimme zeichnerisch: Welchen y-Achsenabschnitt besitzt die Gerade g, die durch den Punkt (−3|−1) geht und parallel ist zur Geraden h mit der Gleichung 
y
=
1
−
0,25x
 
?
Was ist ein Gleichungssystem und welche Aussagen lassen sich über die Lösungsmenge treffen?
#366
Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen. Grundsätzlich sind drei Fälle denkbar:
  • eine eindeutige Lösung
  • unendlich viele Lösungen
  • keine Lösung
Beispiel
Betrachte die folgenden drei Gleichungssysteme und bestimme jeweils, falls möglich, die Lösung(en).
-----------------------
x
=
1
y
=
x
−
2
-----------------------
x
+
y
=
2
2x
+
2y
=
4
-----------------------
x
+
y
=
2
x
+
y
=
1
-----------------------