Lineare Gleichungssysteme, Matheübungen

Lineare Gleichungssysteme graphisch und mit Hilfe von Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren lösen; Sonderfälle und ihre graphische Interpretation

Hilfe
  • Stelle beide Gleichungen zunächst so um, dass x und y links stehen.
  • Gleichungssysteme lassen sich z.B. mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens oder des Additionsverfahrens lösen. Beide Verfahren laufen darauf hinaus, Gleichungen mit jeweils nur einer Unbekannten zu erhalten, nach der man dann auflösen kann.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Additionsverfahren: Genau zwei Rechnungen führen jeweils zum Wegfall einer Variablen. Wähle diese aus.

  • I:   
     
    9
    +
    x
    −
    5y
    =
    0
    II:   
     
    −
    2x
    +
    5
    =
    6y
     
    6
    ·
    I
    −
    5
    ·
    II
     
    2
    ·
    I
    +
    3
    ·
    II
     
    I
    +
    II
     
    2
    ·
    I
    +
    II
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keine Berechtigung
Welche drei Lösungsverfahren gibt es für Gleichungssysteme und was ist ihr Ziel?
#731
Gleichungssysteme lassen sich z.B. mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens, Gleichsetzungsverfahrens oder des Additionsverfahrens lösen. Alle Verfahren laufen darauf hinaus, Gleichungen mit jeweils nur einer Unbekannten zu erhalten, nach der man dann auflösen kann.
Beispiel 1

Löse mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens:

I: y = 10x − 12
II: y = − 9x + 7
Lösung:
x
=
?
y
=
?
Beispiel 2

Löse mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens:

I: x + 2y = − 6
II: x − y = 3
Lösung:
x
=
?
y
=
?
Welche Verfahren gibt es zum Lösen von Gleichungssystemen und was ist ihr Ziel?
#365
Gleichungssysteme lassen sich z.B. mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens oder des Additionsverfahrens lösen. Beide Verfahren laufen darauf hinaus, Gleichungen mit jeweils nur einer Unbekannten zu erhalten, nach der man dann auflösen kann.
Beispiel 1

Löse mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:

I: 2x + 3y = 5
II: 3y − x = 0,5
Beispiel 2
Löse mit Hilfe des Additionsverfahrens:
2x
+
3y
=
5
2y
−
3
=
x
Was ist ein Gleichungssystem und welche Aussagen lassen sich über die Lösungsmenge treffen?
#366
Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen. Grundsätzlich sind drei Fälle denkbar:
  • eine eindeutige Lösung
  • unendlich viele Lösungen
  • keine Lösung
Beispiel
Betrachte die folgenden drei Gleichungssysteme und bestimme jeweils, falls möglich, die Lösung(en).
-----------------------
x
=
1
y
=
x
−
2
-----------------------
x
+
y
=
2
2x
+
2y
=
4
-----------------------
x
+
y
=
2
x
+
y
=
1
-----------------------
Wie kann ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten graphisch interpretiert werden?
#367
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann graphisch übersetzt werden:

Jede Gleichung (=Zeile) entspricht einer Geraden. Die Lösung des Gleichungssystems entspricht dann dem Schnittpunkt beider Geraden. Beachte die Sonderfälle:

  • keine Lösung bedeutet, dass die Geraden echt parallel sind
  • unendlich viele Lösungen bedeutet, dass die Geraden identisch sind

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