Logarithmus/Exponentialgleichung, Matheübungen

Einfache Exponentialgleichungen (Benutzung des Taschenrechners), Vereinfachung logarithmischer Terme mit Hilfe von Rechenregeln - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Exponentialgleichungen, in denen nur eine Potenz (und sonst kein weiteres x) vorkommt, lassen sich in die Form

    aT(x)=b

    bringen [mit T(x) ist ein x-Term wie z.B. x+3 gemeint]. Sofern b>0, kann man anschließend auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis a anwenden, womit man die Gleichung

    T(x)=logab

    erhält, die nach x aufgelöst werden kann.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Löse die Exponentialgleichung. Wende den TR erst im letzten Schritt an (d.h. rechne nicht mit grob gerundeten Werten weiter). Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 4. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • 12,3
    ·
    1,075
    x
    −
    2
    =
    25,7
    x
     
    ≈
     
    Notizfeld
    Notizfeld
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Exponentialgleichung und Logarithmus
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Exponentialgleichung und Logarithmus

Kanal: Mathegym
Logarithmus Rechenregeln
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Logarithmus Rechenregeln

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Was ist eine Exponentialgleichung und wie wird sie gelöst?
#358
Die Exponentialgleichung (Exponent gesucht!)   bx = a    besitzt die Lösung   x = logb a.

Gesprochen: "Logarithmus von a zur Basis b"

Was bedeutet log_b a und wie berechnet man es?
#353
Um  logb a ohne Taschenrechner zu ermitteln, muss man fragen: "b hoch wieviel ist a?"

Beispiel: log3 9 = 2, weil 32 = 9

Wie berechnet man log_b a mit einem Taschenrechner, der nur eine 'log'-Taste hat?
#356
Um logb a zu berechnen, gib in den Taschenrechner ein:

log a : log b

Beispiel
Löse die Gleichung:
4
x
−
1
:
9
=
3
2
−
x
·
2
x
Wie lässt sich eine Exponentialgleichung der Form b^{T_1(x)} = b^{T_2(x)} lösen?
#368
Liegt die Exponentialgleichung in der Form

bT1(x) = bT2(x)    [ T1(x) und T2(x) sind x-Terme ]

vor, so kann x auch ohne Logarithmus gelöst werden. Setze dazu einfach gleich:

T1(x) = T2(x)

Wie kann man einen Logarithmus umformen, wenn das Argument eine Potenz ist?
#355
logb ar = r · logb a

Die Regel ist viele Schülern unter "Lasso-Regel" geläufig, da man den Exponenten sozusagen mit einem Lasso einfängt und vor das "r" stellt.

Wie kann man log_b(a) ohne Taschenrechner bestimmen, wenn Basis und Argument als Potenzen derselben Basis darstellbar sind?
#359
Lassen sich Basis und Argument des Logarithmus als Potenz derselben Basis schreiben, so kann man den Logrithmuswert ohne Taschenrechner bestimmen.
Beispiel
log
4
 
1
8
=
?
Wie löst man die Gleichung log_b a = c, wenn a oder b gesucht sind?
#851
Sind in der Gleichung

logb a = c

a oder b gesucht, so übersetzt man sie in die Exponentialgleichung

bc = a

und löst im Fall "b gesucht" noch nach b auf.
Wie löst man eine Exponentialgleichung, wenn nur eine Potenz mit x vorkommt?
#997
Exponentialgleichungen, in denen nur eine Potenz (und sonst kein weiteres x) vorkommt, lassen sich in die Form

aT(x)=b

bringen [mit T(x) ist ein x-Term wie z.B. x+3 gemeint]. Sofern b>0, kann man anschließend auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis a anwenden, womit man die Gleichung

T(x)=logab

erhält, die nach x aufgelöst werden kann.
Beispiel
Löse die Gleichung.
12 000
·
1,06
x
−
3
=
10
5
Wie kann man Summen oder Differenzen von Potenzen mit x im Exponenten vereinfachen?
#998
Um Summen oder Differenzen von Potenzen (mit x im Exponent) zu vereinfachen, kann man versuchen, mit Hilfe der Potenzregeln gleiche Potenzen herzustellen.
Beispiel
Löse die Exponentialgleichung.
4
x
+
1
=
4
x
−
1
2
+
7