Mittlere und lokale Änderungsrate, Matheübungen

Berechnung von mittleren und lokalen (momentanen) Änderungsraten mittels Steigungsdreieck, Differenzenquotient bzw. Differentialquotient - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 32 Aufgaben in 7 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Halte einen Stift als passende Tangente vor den Bildschirm, verschiebe ihn dann - ohne die Steigung zu ändern - so, dass er durch einen Gittepunkt geht. Jetzt kannst du die Steigung abzählen.
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.

    Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 4
  • Schätze die lokale Änderungsrate an der gegebenen Stelle ab. Verwende dazu GeoGebra oder einen Stift, den du knapp vor den Bildschirm hältst. Ergebnis(se) mit 1 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
    • graphik
    Stelle x
    0
    =
    1,5:
    m ≈
     
    Achte auf das Vorzeichen!
  • keine Berechtigung
GeoGebra
GeoGebra
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
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Stoff zum Thema (+Video)
Mittlere und lokale Änderungsrate - Teil 1
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Mittlere+lokale Änderungsrate - Teil 2
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Mittlere+lokale Änderungsrate - Teil 3
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Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate einer Funktion und welcher synonyme Begriff ist dafür gebräuchlich?
#396
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

[ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.
Beispiel
(1) Maximilian war Ende Januar 1,35 m groß und Ende Juni 1,37 m. Wie groß ist in diesem Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate?
(2) Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate der Normalparabel mit Scheitel im Ursprung im Intervall [3;7]?
Wie lassen sich die mittlere und lokale Änderungsrate graphisch interpretieren?
#397
Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.

Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.

Beispiel
Schätze die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall bzw. die lokale Änderungsrate an der gegebenen Stelle ab.
graphik
Intervall [-1; 5]:       
 
m
 
≈ ?
Stelle x
0
=
4:       
 
m ≈ ?
Wie bestimmt man die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x_0 mit Differenzenquotienten?
#844

Man kann auch die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe geeigneter Differenzenquotienten bestimmen. Man berechnet dazu

[ f(x) − f(x0) ] / (x − x0)

für x-Werte, die sich von links und von rechts an x0 annähern. Erläuterung: die zugehörigen Sekanten gleichen dadurch immer mehr der Tangente an der Stelle x=x0.

Wie ist der Zusammenhang zwischen dem Differenzenquotienten und der lokalen Änderungsrate?
#640
Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den Grenzwert des Differenzenquotienten

[ f(a+h) − f(a) ] / h

für h → 0 (h ≠ 0) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.
Beispiel
Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle a.
f(x)
=
2
x
−
x
;
a
=
−
2
Was ist der Differentialquotient und wie wird er berechnet?
#398
Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den den Grenzwert des Differenzenquotienten

[ f(x) − f(a) ] / (x − a)

für x → a (x ≠ a) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.
Beispiel
Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle x0.
f(x)
=
2
x
−
x
;
x
0
=
−
2