Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?
#1151
Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\))
ist zwischen nicht kumuliert (\(P(X=k)\)) und kumuliert (\(P(X\le k)\)) zu unterscheiden.
Berechnung mit dem GTR
Gegeben: Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:
\[
B_{n,p}(k)=P(X=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k)
\]
Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer:
\[
F_{n,p}(k)=P(X\le k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k)
\]
Hinweis: Bei vielen Experimenten (z. B. Ziehen mehrerer Kugeln auf einmal oder
hintereinander ohne Zurücklegen) liegt keine Bernoulli-Kette vor; dann gelten andere Modelle/Formeln
(z. B. hypergeometrische Verteilung).
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…
a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.
d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.
Ein Würfel wird zehnmal hintereinander geworfen.
A: Es fällt genau dreimal die Augenzahl \(\displaystyle 6\text{.}\)
B: Beim vierten Wurf fällt zum ersten Mal die Augenzahl \(\displaystyle 6\text{.}\)
Welches Ereignis passt jeweils zum Term? Begründe.
a) \(\displaystyle \binom{10}{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{3}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{7}\)
b) \(\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^{3}\cdot\frac{1}{6}\)
