Natürliche Zahlen - Teiler und Primzahlen, Matheübungen

Teilerregeln, Bestimmung aller Teiler einer Zahl, Primfaktorenzerlegung, größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV), Textaufgaben - Lehrplan für 5.-11. Klasse

Hilfe
  • Wenn zwei Zahlen durch a teilbar sind , dann ist auch die Summe bzw. Differenz dieser Zahlen durch a teilbar.

    Wenn nur eine der beiden Zahlen durch a teilbar ist, dann ist die Summe bzw. Differenz nicht durch a teilbar.

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Prüfe jeweils im Kopf durch geschickte Zerlegung in eine Summe oder Differenz. Evtl. stimmt auch keine von beiden Aussagen.

  • 196
    ist durch 19 teilbar
    ist durch 23 teilbar
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Warum es unendlich viele Primzahlen gibt
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Warum es unendlich viele Primzahlen gibt

Kanal: Mathegym
Was sagt man über die Teilbarkeit der Summe zweier Zahlen, wenn beide oder nur eine durch a teilbar sind?
#458
Wenn zwei Zahlen durch a teilbar sind , dann ist auch die Summe bzw. Differenz dieser Zahlen durch a teilbar.

Wenn nur eine der beiden Zahlen durch a teilbar ist, dann ist die Summe bzw. Differenz nicht durch a teilbar.

Beispiel
Ist 2053 durch 19 teilbar?
Wie erkennt man die Teilbarkeit einer Zahl durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 und was sind Primzahlen?
#452
Eine natürlich Zahl ist
  • durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade ist, also bei 0, 2, 4, 6 und 8 an letzter Stelle.
  • durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern als Zahl durch 4 teilbar sind.
  • durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 lautet.
  • durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
  • durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern als Zahl durch 8 teilbar sind.
  • durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
Zahlen ab 2, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, nennt man Primzahlen. Die kleinste Primzahl ist also 2, dann folgen 3, 5, 7, 11...(unendlich viele).
Beispiel
Überprüfe die Zahl 140352 auf Teilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 und 10.
Wie lassen sich natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind, darstellen?
#453
Jede natürliche Zahl kann, wenn sie nicht selbst Primzahl ist, in Primfaktoren zerlegt werden, also als Produkt, bestehend aus Primzahlen, geschrieben werden.
Beispiel
Zerlege 280 in Primfaktoren und gib diese aufsteigend geordnet an.
Was sind die Teiler einer natürlichen Zahl und wie viele Teiler hat jede Zahl mindestens?
#451
Jede natürliche Zahl kann durch 1, sich selbst und evtl. weitere Zahlen geteilt werden. Man spricht von Teilern der Zahl. Z.B. hat die Zahl 6 die Teiler 1, 2, 3 und 6.

Um alle Teiler einer Zahl zu ermitteln, geht man am besten systematisch vor, z.B. indem man mit 1 beginnt und dann nach immer größeren Teilern sucht.

Beispiel
Ermittle alle Teiler von 104.
Was sind die Teiler einer natürlichen Zahl und wie findet man sie?
#735
Jede natürliche Zahl kann durch 1, sich selbst und evtl. weitere Zahlen geteilt werden. Man spricht von Teilern der Zahl. Z.B. hat die Zahl 6 die Teiler 1, 2, 3 und 6.

Um alle Teiler einer Zahl zu ermitteln, geht man am besten systematisch vor, z.B. indem man zunächst die Primfaktorzerlegung bestimmt und dann die Primfaktoren systematisch kombiniert.

Beispiel
Bestimme alle Teiler von 360 mit Primfaktorzerlegung.
9 ist ein Teiler von 18, aber auch von 27. Nachdem es keine größere Zahl gibt, die 18 UND 27 teilt, nennt man 9 den größten gemeinsamen Teiler von 18 und 27, kurz ggT (18, 27). Eine zuverlässige Methode, den ggT zu ermitteln, bietet die Primfaktorzerlegung.
Beispiel
ggT (180, 594)
=
?
Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und wie wird es berechnet?
#465

Unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) zweier natürlicher Zahlen a und b versteht man die kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von a als auch ein Vielfaches von b ist.

Einfaches Beispiel: die Zahlen 4 und 6 haben 12, 24, 36 usw. als gemeinsame Vielfache. Von diesen ist 12 die kleinste, also ist 12 das kgV von 4 und 6.

Das gkV kann mit unterschiedlichen Methoden bestimmt werden. Bei einfachen Zahlen kommt man oft schnell drauf, indem man von beiden Zahlen die ersten Vielfachen bildet und vergleicht. Ansonsten steht auch die Methode der Primfaktorenzerlegung zur Verfügung.

Beispiel
kgV(72; 104)
=
?