Normalverteilung - diskrete und stetige Zufallsgrößen, Matheaufgaben

Unterscheidung zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsbestimmung mit Hilfe der Dichtefunktion, Zusammenhang zwischen kumulativer Wahrscheinlichkeit und Dichtefunktion.

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Entscheide, ob die beschriebene Zufallsgröße diskret oder stetig ist, und begründe deine Entscheidung.

Nach Rückkehr eines LKW von einer fünfstündigen Transporttour wird der Fahrtenschreiber ausgewertet. Die Zufallsgröße G gibt die Geschwindigkeit des LKW zu einem zufällig ausgewählten Zeitpunkt während der fünfstündigen Tour an.
Es handelt sich bei G um eine
diskrete
stetige
Zufallsgröße, weil
es im Prinzip unendlich viele Geschwindigkeiten als Ergebnisse gibt.
sie beliebige Werte aus einem Intervall reller Zahlen annehmen kann.
ein LKW manche Geschwindigkeiten auch über längere Zeit beibehält.
sie in der Realität nur endlich viele km/h-Werte annehmen kann.

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Stetige Zufallsgrößen und die Dichtefunktion

Kanal: Mathehoch13

Wie unterscheidet man diskrete und stetige Zufallsgrößen?

#1300

Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen:

Eine diskrete Zufallsgröße kann nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen. Ihre Wertemenge ist also endlich oder enthält genauso viele Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen (also unendlich viele „einzelne“ Werte).
Eine stetige Zufallsgröße nimmt beliebige reelle Zahlen aus einer nicht abzählbaren Menge als Werte an, z.B. Zahlen aus einem nicht leeren Intervall reeller Zahlen.

Beispiel

Bei der Aufzeichnung einer Fernseh-Show interessiert sich der Produzent für die Lautstärke (genauer: den "Schalldruckpegel" in Dezibel), mit der das Publikum zu einem zufälligen Zeitpunkt applaudiert. Diese wird mit der Zufallsgröße L bezeichnet. Entscheide, ob es sich bei L um eine stetige oder diskrete Zufallsgröße handelt, und begründe deine Entscheidung.

Welche Bedingungen muss die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße erfüllen und wie berechnet man damit Wahrscheinlichkeiten?

#1301

Eine in einem Intervall I definierte Funktion f, aus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integration bestimmen kann, nennt man Dichtefunktion. Sie muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

f(x) ≥ 0 für alle x ∈ I (Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist nie negativ.)
Das Integral über f auf dem gesamten Intervall I besitzt den Wert 1. (Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist stets 100%.)

Für die zugehörige stetig verteilte Zufallsgröße X und r, s ∈ I ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ X ≤ s) durch Integration über f von r bis s.

Beispiel 1

Gegeben ist die Funktion f mit

−

für

≤

Zeige, dass f die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist.

Beispiel 2

Die stetige Zufallsgröße X besitzt die Funktion f mit

−

für

≤

als Dichtefunktion. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X mindestens den Wert 2 annimmt.

Beispiel 3

Jonas hat sich zum letzten Jahreswechsel vorgenommen, seine tägliche Bildschirmzeit zu reduzieren und dafür täglich Buch zu führen, wie viele Stunden er vor einem Bildschirm gesessen ist. Am Ende des Jahres ist er stolz auf seine Fortschritte: An keinem Tag hat er mehr als drei Stunden vor dem Bildschirm verbracht und an den meisten Tagen sogar deutlich weniger als drei Stunden. Mit der Zufallsgröße B bezeichnet er die Bildschirmzeit in Stunden an einem zufällig ausgewählten Tag. Die Auswertung seiner Daten ergibt näherungsweise den dargestellten Graphen

der für 0 ≤ x ≤ 3 durch die Funktion

−

beschrieben werden kann. Dabei gibt x die Bildschirmzeit in Stunden an, und

kann als Modell für die Dichtefunktion der Zufallsgröße B verwendet werden.

Jonas ärgert sich lediglich darüber, dass er an manchen Tagen eine Bildschirmzeit von mindestens zwei Stunden hatte (Ereignis Z). Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Z.

Wie ist die kumulative Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße definiert und wie berechnet man damit Wahrscheinlichkeiten?

#1304

Besitzt eine stetige Zufallgröße X mit Werten aus [a; b] die Dichtefunktion f, so ist die zugehörige kumulative Verteilungsfunktion von X die Integralfunktion F von f mit Untergrenze a. Kennt man die kumulative Verteilungsfunktion F von X, so gilt: P(X ≤ x) = F(x).