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Potenzen mit rationalen Exponenten, Mathe-Übungen
n-te Wurzel und Kehrbruch mit Hilfe von Potenzen ausdrücken, Umwandlung zwischen beiden Darstellungsformen, Anwendung von Potenzgesetzen, Lösen von Gleichungen durch geeignete Potenzierung - Lehrplan
Aufgaben
Aufgaben rechnen
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Hilfe
Schreibe stets als Potenz mit möglichst einfacher Basis.
Potenzgesetze:
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
a
p
· a
q
= a
p + q
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
a
p
: a
q
= a
p − q
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
a
q
· b
q
= (a · b)
q
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
a
q
: b
q
= (a : b)
q
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
(a
p
)
q
= a
p·q
Vereinfache so weit wie möglich.
Zwischenschritte aktivieren
5
3
·
25
3
5
=
5
Notizfeld
Notizfeld
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:
/
√
^
∞
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Stoff zum Thema (+Video)
Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt
b
−r
= 1 / b
r
Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt
b
1/n
=
n
√b
Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt
b
m/n
=
n
√(b
m
) = (
n
√b)
m
Beispiel 1
27
2
3
=
?
0,75
−
2
=
?
Beispiel 2
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
1
8
Beispiel 3
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
2
3x
2
3
64
27a
Zwei Terme T
1
und T
2
sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
und
x
2
x
2
3
und
x
3
Potenzgesetze:
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
a
p
· a
q
= a
p + q
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
a
p
: a
q
= a
p − q
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
a
q
· b
q
= (a · b)
q
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
a
q
: b
q
= (a : b)
q
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
(a
p
)
q
= a
p·q
Beispiel
Forme, falls möglich, in EINE Wurzel um, in der nur noch positive Exponenten auftreten.
a)
a
3
·
a
b)
a
3
a
c)
5
a
−
2
d)
a
+
a
1,5
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung
T(x)
r
= a
lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:
T(x) = a
1/r
Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
eine echt rationale Zahl ist: x
1/3
= -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
x
+
1
−
3
4
=
8
3
x
2
−
2
=
−
1
2
Die Gleichung x
n
=a (n ∈
N
)
hat KEINE Lösung, wenn n eine gerade Zahl ist und a<0.
hat GENAU ZWEI Lösungen, wenn n eine gerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a als auch deren Gegenzahl.
hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a.
hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a<0, nämlich die Gegenzahl der n-te Wurzel von |a|.
Beispiel
Löse, falls möglich:
a
x
4
=
−
5
b
x
4
=
5
c
x
3
=
5
d
x
3
=
−
5
e
x
3
=
0
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